Théorème de Gergonne

Soient a, b, c (de somme 1) les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine (A,B,C) : M est égal à aA+bB+cC donc aussi, par associativité du barycentre, à (a+b)C'+cC, si bien que

${\displaystyle {\frac {\overline {C'\,M}}{\overline {C'\,C}}}=c\ .}$

De même,

${\displaystyle {\frac {\overline {A'\,M}}{\overline {A'\,A}}}=a\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\overline {B'\,M}}{\overline {B'\,B}}}=b\ ,}$

d'où le résultat, en additionnant les trois.