Solide de Catalan

En mathématiques, un solide de Catalan ou dual archimédien, est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède. Les solides de Catalan ont été nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge Eugène Catalan qui, en 1865, fut le premier à les étudier de manière systématique et les décrire et représenter avec soin et minutie[1].
Les solides de Catalan sont tous convexes. Ils sont de faces uniformes mais non de sommets uniformes, en raison du fait que les duaux archimédiens sont de sommets uniformes et non de faces uniformes. À la différence des solides de Platon et des solides d'Archimède, les faces des solides de Catalan ne sont pas des polygones réguliers. En revanche, les figures de sommets des solides de Catalan sont régulières, et ont des angles dièdres égaux. De plus, deux des solides de Catalan ont des arêtes uniformes : le dodécaèdre rhombique (de première espèce) et le triacontaèdre rhombique. Ceux-ci sont les duaux des deux solides d'Archimède quasi-réguliers.
Comme leurs partenaires duaux archimédiens, il existe deux solides de Catalan chiraux, ou gyroèdres : l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal. Chacun d'eux a deux formes énantiomorphes. Sans compter ces versions énantiomorphes, il existe 13 solides de Catalan au total.
Nom(s) | Image | Dual (solide d'Archimède) | Faces | Arêtes | Sommets | Polygone de face | Symétrie | Angle dièdre |
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Triakitétraèdre | ![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Tétraèdre tronqué | 12 | 18 | 8 | Triangle isocèle V3,6,6 |
Td |
≈ 113° |
Dodécaèdre rhombique | ![]() Crédit image: licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Cuboctaèdre | 12 | 24 | 14 | Losange V3,4,3,4 |
Oh | 120° |
Triakioctaèdre | ![]() Crédit image: licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Cube tronqué | 24 | 36 | 14 | Triangle isocèle V3,8,8 |
Oh |
≈ 147° |
Tétrakihexaèdre | ![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Octaèdre tronqué | 24 | 36 | 14 | Triangle isocèle V4,6,6 |
Oh |
≈ 143° |
Icositétraèdre trapézoïdal | ![]() Crédit image:
User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Petit rhombicuboctaèdre | 24 | 48 | 26 | Cerf-volant V3,4,4,4 |
Oh |
≈ 138° |
Hexakioctaèdre |
![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Grand rhombicuboctaèdre | 48 | 72 | 26 | Triangle scalène V4,6,8 |
Oh |
≈ 155° |
Icositétraèdre pentagonal (deux formes chirales) |
![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 ![]() Crédit image:
User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Cube adouci | 24 | 60 | 38 | Pentagone irrégulier V3,3,3,3,4 |
O | ≈ 136° |
Triacontaèdre rhombique | ![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Icosidodécaèdre | 30 | 60 | 32 | Losange V3,5,3,5 |
Ih | ≈ 144° |
Triaki-icosaèdre | ![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Dodécaèdre tronqué | 60 | 90 | 32 | Triangle isocèle V3,10,10 |
Ih |
≈ 161° |
Pentakidodécaèdre | ![]() Crédit image: licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Icosaèdre tronqué | 60 | 90 | 32 | Triangle isocèle V5,6,6 |
Ih |
≈ 157° |
Hexacontaèdre trapézoïdal | ![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Petit rhombicosidodécaèdre | 60 | 120 | 62 | Cerf-volant V3,4,5,4 |
Ih | ≈ 154° |
Hexaki icosaèdre |
![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Grand rhombicosidodécaèdre | 120 | 180 | 62 | Triangle scalène V4,6,10 |
Ih | ≈ 164° |
Hexacontaèdre pentagonal (deux formes chirales) |
![]() Crédit image: User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 ![]() Crédit image:
User Cyp on en.wikipedia licence CC BY-SA 3.0 🛈 |
Dodécaèdre adouci | 60 | 150 | 92 | Pentagone irrégulier V3,3,3,3,5 |
I | ≈ 153° |
Généralisation
La notion de solides de Catalan peut être étendue aux polytopes. Ainsi, en dimension 4, on parlera de polychore de Catalan[2].
Références
- Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
- Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991.
- Magnus Wenninger Dual Models Cambridge, England: Cambridge University Press, 1983.
- Robert Williams The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc, 1979, (ISBN 0-486-23729-X)
Liens externes
- Solide de Catalan – Site MathWorld
- Duaux archimédiens – Polyèdres en réalité virtuelle
- Solide de Catalan interactif en Java
Notes et références
- ↑ Jean-Jacques Dupas et Norbert Verdier, « Chapitre 8 : Catalan et ses polyèdres », Bulletin de la Sabix. Société des amis de la Bibliothèque et de l’Histoire de l'École polytechnique, no 57, , p. 57–64 (ISSN 0989-3059, DOI 10.4000/sabix.1971, lire en ligne, consulté le )
- ↑ (en) « The Catalan Polychora », sur 4D Euclidean space (consulté le )