Réseau de Toda

En physique du solide, le réseau de Toda, introduit par Morikazu Toda en 1967, est un modèle simple pour un cristal unidimensionnel.

Il est donné pour une chaîne de particules dont l'interaction avec le voisin le plus proche est décrit par l'opérateur hamiltonien

${\displaystyle {\begin{aligned}H(p,q)&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {p(n,t)^{2}}{2}}+V(q(n+1,t)-q(n,t)\right)\end{aligned}}}$

et les équations du mouvement

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}p(n,t)&=-{\frac {\partial H(p,q)}{\partial q(n,t)}}=e^{-(q(n,t)-q(n-1,t))}-e^{-(q(n+1,t)-q(n,t))},\\{\frac {d}{dt}}q(n,t)&={\frac {\partial H(p,q)}{\partial p(n,t)}}=p(n,t),\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle q(n,t)}$ est le déplacement de la ${\displaystyle n}$-ième particule depuis sa position d'équilibre, ${\displaystyle p(n,t)}$ est sa quantité de mouvement (masse ${\displaystyle m=1}$), et ${\displaystyle V(r)=e^{-r}+r-1}$ est le potentiel de Toda.

Les solutions en solitons sont des ondes solitaires qui se propagent dans le temps sans changement de leur forme et de leur taille et interagissent les unes avec les autres comme des particules. La solution générale en N-soliton de l'équation est

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{N}(n,t)=q_{+}+\log {\frac {\det(\mathbb {I} +C_{N}(n,t))}{\det(\mathbb {I} +C_{N}(n+1,t))}},\end{aligned}}}$

où

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{N}(n,t)={\Bigg (}{\frac {\sqrt {\gamma _{i}(n,t)\gamma _{j}(n,t)}}{1-e^{\kappa _{i}+\kappa _{j}}}}{\Bigg )}_{1<i,j<N},\gamma _{j}(n,t)=\gamma _{j}e^{-2\kappa _{j}n-2\sigma _{j}sinh(\kappa _{j})},\end{aligned}}}$

avec ${\displaystyle \kappa _{j},\gamma _{j}>0}$ et ${\displaystyle \sigma _{j}\in \{\pm 1\}}$ .

Le réseau de Toda est un exemple prototypique d'un système complètement intégrable. Pour voir celui-ci on utilise les variables de Flaschka

${\displaystyle a(n,t)={\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-(q(n+1,t)-q(n,t))/2},\qquad b(n,t)=-{\frac {1}{2}}p(n,t)}$ ;

le réseau de Toda prend alors la forme

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {a}}(n,t)&=a(n,t){\Big (}b(n+1,t)-b(n,t){\Big )},\\{\dot {b}}(n,t)&=2{\Big (}a(n,t)^{2}-a(n-1,t)^{2}{\Big )}.\end{aligned}}}$

Pour montrer que le système est complètement intégrable, il suffit de trouver une paire de Lax, c'est-à-dire deux opérateurs ${\displaystyle L(t)}$ et ${\displaystyle P(t)}$ dans l'espace de Hilbert ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ des suites de carrés sommables de telle sorte que l'équation de Lax

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}L(t)=[P(t),L(t)]}$

où ${\displaystyle [P(t),L(t)]=LP-PL}$ est le crochet de Lie des deux opérateurs, est équivalent à la dérivée temporelle des variables de Flaschka. Le choix

${\displaystyle {\begin{aligned}L(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)+a(n-1,t)f(n-1)+b(n,t)f(n),\\P(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)-a(n-1,t)f(n-1).\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle f(n+1)}$ et ${\displaystyle f(n-1)}$ sont les opérateurs de décalage, implique que les opérateurs ${\displaystyle L(t)}$ pour différents ${\displaystyle t}$ sont unitairement équivalents.

La matrice ${\displaystyle L(t)}$ a la propriété que ses valeurs propres sont invariantes dans le temps. Ces valeurs propres constituent des intégrales indépendantes du mouvement, donc le réseau de Toda est complètement intégrable. En particulier, le réseau de Toda peut être résolu grâce à la transformation de diffusion inverse pour l'opérateur de Jacobi ${\displaystyle L}$. Le résultat principal implique que des conditions initiales de décomposition arbitraire (suffisamment rapide) se répartissent asymptotiquement pour ${\displaystyle t}$ grand en une somme de solitons et une partie dispersive.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Toda lattice » (voir la liste des auteurs).

• Helge Krüger et Gerald Teschl, « Long-time asymptotics of the Toda lattice for decaying initial data revisited », Rev. Math. Phys., vol. 21, n^o 1,‎ 2009, p. 61-109 (MR 2493113, arXiv 0804.4693).
• Gerald Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Amer. Math. Soc., coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (n^o 72), 2000, 351 p. (ISBN 978-0-8218-1940-1, MR 1711536, lire en ligne)
• Gerald Teschl, « Almost everything you always wanted to know about the Toda equation », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 103, n^o 4,‎ 2001, p. 149–162 (MR 1879178, lire en ligne)
• Eugene Gutkin, « Integrable Hamiltonians with exponential potential », Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 16, n^o 3,‎ 1985, p. 398–404 (ISSN 0167-2789, DOI 10.1016/0167-2789(85)90017-X).
• Morikazu Toda, « Vibration of a Chain with Nonlinear Interaction », Journal of the Physical Society of Japan, vol. 22, n^o 2,‎ 1967, p. 431–436 (ISSN 0031-9015, DOI 10.1143/JPSJ.22.431).
• Morikazu Toda, Theory of Nonlinear Lattices, Berlin, Springer, coll. « Springer Series in Solid-State Sciences » (n^o 20), 1989, 2^e éd., 203 p. (ISBN 978-0-387-10224-5, DOI 10.1007/978-3-642-83219-2, MR 0971987)

• Paire de Lax
• Bialgèbre de Lie

• Eric W. Weisstein, « Toda Lattice » sur ScienceWorld
• Gerald Teschl, The Toda Lattice
• « Special issue on fifty years of the Toda lattice », Journal of Physics A,‎ 2018 (présentation en ligne)

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