Nombre de Genocchi

Les nombres de Genocchi, qui portent le nom du mathématicien Angelo Genocchi, forment la suite de nombres (G_n)_{n ≥ 1} définie par sa série génératrice exponentielle :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }G_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {2t}{e^{t}+1}}.}$

Ils sont donc entiers, et reliés aux nombres de Bernoulli B_n par la formule

${\displaystyle G_{n}=2\,(1-2^{n})\,B_{n}.}$

Les premiers nombres de Genocchi sont par conséquent :

1, –1, 0, 1, 0, –3, 0, 17 (suite A036968 de l'OEIS)

et (de même que pour B_n) :

G_n = 0 lorsque n est impair et différent de 1, et les signes des G_n alternent pour n pair.

On a :

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}4^{k-1}{\binom {2n}{2k}}G_{2k}=n}$

On a l'égalité suivante^[1]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n-1}G_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=x\tan x}$

(en) Eric W. Weisstein, « Genocchi Number », sur MathWorld

• Portail de l'analyse