NSPACE

En théorie de la complexité, NSPACE désigne une famille de classes de complexité caractérisées par leur complexité en espace sur une machine de Turing non déterministe.

Plus précisément, ${\displaystyle {\mathsf {NSPACE}}(f(n))}$ est la classe des problèmes de décision qui, pour une entrée de taille ${\displaystyle n}$, peuvent être décidés par une machine de Turing non déterministe fonctionnant en espace ${\displaystyle {\mathcal {O}}(f(n))}$.

Les classes de complexité NL, NPSPACE et NEXPSPACE sont définies à partir de la famille NSPACE :

${\displaystyle {\mathsf {NL}}={\mathsf {NSPACE}}({\mathcal {O}}(\log n))}$

${\displaystyle {\mathsf {NPSPACE}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {NSPACE}}(n^{k})={\mathsf {PSPACE}}}$

${\displaystyle {\mathsf {NEXPSPACE}}=\bigcup \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {NSPACE}}\left(2^{n^{k}}\right)={\mathsf {EXPSPACE}}}$

Les langages rationnels peuvent être définis comme ${\displaystyle {\mathsf {REG}}={\mathsf {DSPACE}}({\mathcal {O}}(1))={\mathsf {NSPACE}}({\mathcal {O}}(1))}$. En fait, on a même ${\displaystyle {\mathsf {REG}}={\mathsf {DSPACE}}({\mathcal {o}}(\log \log n))={\mathsf {NSPACE}}({\mathcal {o}}(\log \log n))}$ : le plus petit espace requis pour reconnaître un langage non rationnel est ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\log \log n)}$, et toute machine de Turing (déterministe ou non) en espace ${\displaystyle o(\log \log n)}$ reconnaît un langage rationnel^[1].

La classe des langages contextuels peut être définie comme ${\displaystyle {\mathsf {CSL}}={\mathsf {NSPACE}}({\mathcal {O}}(n))}$.

Informellement, le théorème de hiérarchie en espace indique que disposer de plus d'espace permet de décider davantage de problèmes. Plus précisément, pour toutes fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ telles que ${\displaystyle f=o(g)}$ et ${\displaystyle g}$ est constructible en espace, l'inclusion stricte suivante est vérifiée :

${\displaystyle {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subsetneq {\mathsf {NSPACE}}(g(n))}$

Le théorème d'Immerman-Szelepcsényi affirme que les classes NSPACE sont closes par complémentaire : pour toute fonction ${\displaystyle f}$ constructible en espace telle que ${\displaystyle f(n)\geq \log n}$ :

${\displaystyle {\mathsf {NSPACE}}(f(n))={\mathsf {coNSPACE}}(f(n))}$

En particulier, ${\displaystyle {\mathsf {NL}}={\mathsf {coNL}}}$.

Le théorème de Savitch relie NSPACE aux classes de complexité en mémoire déterministe DSPACE par les inclusions suivantes, pour toute fonction ${\displaystyle f}$ constructible en espace telle que ${\displaystyle f(n)\geq \log n}$ :

${\displaystyle {\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}\left(f(n)^{2}\right)}$

Une conséquence en est que PSPACE = NPSPACE.

Par ailleurs, NSPACE est relié aux classes de complexité en temps DTIME et NTIME par les inclusions suivantes, pour toute fonction ${\displaystyle f}$ constructible en espace :

${\displaystyle {\mathsf {NTIME}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {NSPACE}}(f(n))\subseteq {\mathsf {DTIME}}\left(2^{{\mathcal {O}}(f(n))}\right)}$

• (en) Sanjeev Arora et Boaz Barak, Computational Complexity: A Modern Approach, Cambridge University Press, 20 avril 2009, 579 p. (ISBN 978-0-521-42426-4, lire en ligne).
• Sylvain Perifel, Complexité algorithmique, Éditions Ellipses, 22 avril 2014, 432 p. (ISBN 978-2-729-88692-9, lire en ligne).

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