Loi du zéro-un de Borel

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques »^[1], par Émile Borel, en vue de la démonstration du théorème des nombres normaux, et en vue d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens^[Quoi ?], l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

Dans un espace probabilisé ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),}$ considérons une suite ${\displaystyle (A_{n})_{n\geq 0}}$ d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (ou "événements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements ${\displaystyle A_{n}}$ sont indépendants, alors ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)}$ vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{n})}$ est convergente ou divergente.

Démonstration

• Si la série de terme général ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{n})}$ est convergente, alors, en vertu du lemme de Borel-Cantelli, on a ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=0.}$

C'est dans ce sens que l'hypothèse d'indépendance est superflue.

• Supposons que la série de terme général ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{n})}$ est divergente, et montrons que

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=1,}$

ou, de manière équivalente, montrons que

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\overline {\limsup _{n}A_{n}}}\right)=0.}$

On rappelle que

${\displaystyle {\overline {\limsup _{n}A_{n}}}=\liminf _{n}\ {\overline {A_{n}}},}$

d'après les lois de De Morgan. Plus précisément,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\limsup _{n}A_{n}}}&={\overline {\bigcap _{n\geq 0}\bigcup _{k\geq n}A_{k}}}\\&=\bigcup _{n\geq 0}\bigcap _{k\geq n}{\overline {A_{k}}}\\&=\bigcup _{n\geq 0}B_{n},\end{aligned}}}$

où

${\displaystyle B_{n}=\bigcap _{k\geq n}{\overline {A_{k}}}={\overline {A_{n}}}\cap B_{n+1}}$

est une suite croissante d'événements. Ainsi

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\overline {\limsup _{n}A_{n}}}\right)=\lim _{n}\ \mathbb {P} \left(B_{n}\right).}$

On conclut en montrant que ${\displaystyle \mathbb {P} \left(B_{n}\right)=0}$. Posons

${\displaystyle B_{n,\ell }=\bigcap _{n\leq k\leq n+\ell }{\overline {A_{k}}}={\overline {A_{n+\ell }}}\cap B_{n,\ell -1}.}$

En vertu de l'indépendance des ${\displaystyle A_{i},}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right)=\prod _{n\leq k\leq n+\ell }\mathbb {P} \left({\overline {A_{k}}}\right)=\prod _{n\leq k\leq n+\ell }\left(1-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right).}$

En vertu de la décroissance en ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle B_{n,\ell },}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(B_{n}\right)=\lim _{\ell }\mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right).}$

Or on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right)&=\prod _{k=n}^{n+\ell }\left(1-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right)\\&\leq \prod _{k=n}^{n+\ell }\exp \left(-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right)\\&=\exp \left(-\sum _{k=n}^{n+\ell }\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right){\underset {\ell \rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0\end{aligned}}}$

par convexité de l'exponentielle puis divergence de la série de terme général ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{n}\right),}$ ce qui achève la démonstration.

En d'autres termes, on peut dire que ${\displaystyle \textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}}$ si et seulement si l'ensemble ${\displaystyle \{k\geq 0\ \vert \ \omega \in A_{k}\}}$ est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout ${\displaystyle n\geq 0}$, on peut trouver ${\displaystyle k\geq n}$ tel que ${\displaystyle \omega \in A_{k}}$. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

${\displaystyle \limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}(\bigcup _{k\geq n}A_{k}).}$

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que ${\displaystyle \textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}}$ si et seulement si ${\displaystyle \{\omega \in A_{k}\}}$ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(A_{n}\quad {\text{i.o.}}\right).}$

La définition "${\displaystyle \textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}}$ si et seulement si ${\displaystyle \omega }$ appartient à une infinité de ${\displaystyle A_{k}}$" peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties ${\displaystyle A_{k}}$ sont égales, il se peut que ${\displaystyle \omega }$ appartienne à ${\displaystyle A_{k}}$ pour une infinité d'indices ${\displaystyle k}$, et il se peut donc que ${\displaystyle \omega }$ appartienne à ${\displaystyle \textstyle \limsup _{n}\,A_{n},}$ sans pour autant qu'${\displaystyle \omega }$ appartienne à une infinité de ${\displaystyle A_{k}}$ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul ${\displaystyle A_{k}}$).

• Lemme de Borel-Cantelli
• Francesco Paolo Cantelli, mathématicien italien
• Émile Borel, mathématicien français
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