Intégrale d'Euler

En mathématiques, on désigne par intégrales d'Euler ou intégrales eulériennes deux types d'intégrales :

1. L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :
   ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$
2. L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma :
   ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}$

Pour m et n entiers strictement positifs :

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (n,m)={(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}}$

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