Hexacode

En théorie des codes, l'hexacode est un code linéaire de longueur 6 et de dimension 3 sur le corps fini ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}=\{0,1,\omega ,\omega ^{2}\}}$ à quatre éléments défini par

${\displaystyle H=\{(a,b,c,f(1),f(\omega ),f(\omega ^{2})):f(x):=ax^{2}+bx+c;a,b,c\in \mathbb {F} _{4}\}.}$

Une famille génératrice de ${\displaystyle H}$ est donnée par :

${\displaystyle {\begin{array}{l}(1,0,0,1,\omega ^{2},\omega ),\\(0,1,0,1,\omega ,\omega ^{2}),\\(0,0,1,1,1,1).\end{array}}}$

Ainsi, ${\displaystyle H}$ est un sous-espace de dimension 3 de l'espace vectoriel de dimension 6 qu'est ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}^{6}}$. Il contient 45 éléments de poids 4, 18 éléments de poids 6 et le vecteur nul. Le groupe des automorphismes faibles de l'hexacode est ${\displaystyle 3\cdot S_{6}}$.

L'hexacode peut être utilisé pour décrire le Miracle Octad Generator inventé par Rob T. Curtis, une méthode commode pour retrouver des générateurs du plus grand groupe de Mathieu ${\displaystyle M_{24}}$.

• John H. Conway et Neil J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, New York, Springer-Verlag, 1998 (ISBN 0-387-98585-9, lire en ligne )

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