Groupe de Fibonacci

En mathématiques, pour tout entier ${\displaystyle n\geq 2}$, le n-ième groupe de Fibonacci noté ${\displaystyle F(2,n)}$ ou parfois ${\displaystyle F(n)}$ est défini par n générateurs ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots a_{n}}$ et n relations :

• ${\displaystyle a_{1}a_{2}=a_{3},}$
• ${\displaystyle a_{2}a_{3}=a_{4},}$
• ${\displaystyle \cdots }$
• ${\displaystyle a_{n-2}a_{n-1}=a_{n},}$
• ${\displaystyle a_{n-1}a_{n}=a_{1},}$
• ${\displaystyle a_{n}a_{1}=a_{2}}$.

Ces groupes ont été introduits par John Conway en 1965.

Le groupe ${\displaystyle F(2,n)}$ est d'ordre fini pour ${\displaystyle n=2,3,4,5,7}$ et infini pour ${\displaystyle n=6}$ et ${\displaystyle n\geq 8}$. L'infinitude de ${\displaystyle F(9)}$ a été prouvée en 1990 par ordinateur.

• (en) An alternative proof that the Fibonacci group F(2,9) is infinite par Derek K. Holt (fichier PostScript).

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