Le but de cette page est d'expliquer et de démontrer comment une machine électrique fonctionne et produit un couple.
Circuit statique
Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension
u
{\displaystyle u\,}
φ
{\displaystyle \varphi \,}
Φ
=
N
φ
{\displaystyle \Phi =N\varphi \,}
On peut faire le schéma électrique équivalent suivant résistance R qui symbolise les pertes dans les câbles et une fem
e
=
d
Φ
d
t
{\displaystyle e={d\Phi \over dt}\,}
Loi de Lenz .
donc on peut écrire :
u
=
R
i
+
d
Φ
d
t
{\displaystyle u=Ri+{d\Phi \over dt}\,}
En multipliant cette équation par
i
d
t
{\displaystyle idt\,}
on obtient :
u
.
i
.
d
t
=
R
.
i
2
.
d
t
+
N
.
i
.
d
φ
{\displaystyle u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,}
Donc on alimente un circuit magnétique avec une tension u, le circuit consomme une puissance We, on obtient de la chaleur W_th (les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique.
donc
d
W
e
=
d
W
t
h
+
d
W
m
{\displaystyle dW_{e}=dW_{th}+dW_{m}\,}
Reprenons la formule plus haut
u
.
i
.
d
t
=
R
.
i
2
.
d
t
+
N
.
i
.
d
φ
{\displaystyle u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,}
d
W
e
=
u
.
i
.
d
t
{\displaystyle dW_{e}=u.i.dt\,}
d
W
t
h
=
R
.
i
2
.
d
t
{\displaystyle dW_{th}=R.i^{2}.dt\,}
Par identification on en déduit que
d
W
m
=
N
i
d
φ
{\displaystyle dW_{m}=Nid\varphi \,}
. Donc :
W
m
=
∫
N
i
d
φ
{\displaystyle W_{m}=\int {Nid\varphi }\,}
Si on considère que le circuit est indéformable alors
d
S
=
0
{\displaystyle dS=0\,}
S
{\displaystyle S\,}
φ
=
B
.
S
⇒
d
φ
=
S
.
d
B
+
d
S
.
B
⇒
d
W
m
=
N
.
i
.
S
.
d
B
{\displaystyle \varphi =B.S\Rightarrow d\varphi =S.dB+dS.B\Rightarrow dW_{m}=N.i.S.dB\,}
N
i
=
∫
H
.
d
l
=
H
l
{\displaystyle Ni=\int {H.dl}=Hl}
donc on en déduit
d
W
m
=
H
.
l
.
S
.
d
B
=
H
.
d
B
.
V
{\displaystyle dW_{m}=H.l.S.dB=H.dB.V\,}
V
=
l
.
S
=
{\displaystyle V=l.S=\,}
donc
W
m
=
∫
H
.
d
B
.
V
{\displaystyle W_{m}=\int {H.dB.V}}
Cas linéaire : On considère que le matériau est non saturé.
donc
Φ
=
L
i
{\displaystyle \Phi =Li\,}
B
=
μ
.
H
{\displaystyle B=\mu .H\,}
W
m
=
1
2
.
Φ
.
i
{\displaystyle W_{m}={\frac {1}{2}}.\Phi .i\,}
Φ
=
L
.
i
{\displaystyle \Phi =L.i\,}
W
m
=
1
2
.
L
.
i
2
{\displaystyle W_{m}={\frac {1}{2}}.L.i^{2}}
W
m
V
=
1
2
.
B
.
H
=
1
2
.
μ
.
H
2
=
B
2
2
μ
{\displaystyle {\frac {W_{m}}{V}}={\frac {1}{2}}.B.H={\frac {1}{2}}.\mu .H^{2}={\frac {B^{2}}{2\mu }}}
on pose
W
m
+
W
m
′
=
Φ
.
i
=
N
.
φ
.
i
{\displaystyle W_{m}+W'_{m}=\Phi .i=N.\varphi .i\,}
avec :
W
m
{\displaystyle W_{m}\,}
W
m
′
{\displaystyle W'_{m}\,}
dans le cas linéaire =
W
m
=
W
m
′
=
Φ
.
i
/
2
{\displaystyle W_{m}=W'_{m}=\Phi .i/2\,}
Comme le circuit est en mouvement, on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie magnétique.
Donc :
d
W
e
=
d
W
t
h
+
d
W
m
e
c
a
+
d
W
m
{\displaystyle dW_{e}=dW_{th}+dW_{meca}+dW_{m}\,}
, avec :
d
W
e
=
u
.
i
.
d
t
=
(
R
i
+
N
d
φ
d
t
)
.
i
.
d
t
=
R
.
i
2
.
d
t
+
N
.
i
.
d
φ
{\displaystyle dW_{e}=u.i.dt=(Ri+N{\frac {d\varphi }{dt}}).i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,}
d
W
t
h
=
R
.
i
2
.
d
t
{\displaystyle dWth=R.i^{2}.dt\,}
d
W
m
e
c
a
=
F
.
d
x
{\displaystyle dW_{meca}=F.dx\,}
d
W
m
e
c
a
=
C
.
d
θ
{\displaystyle dW_{meca}=C.d\theta \,}
De plus on néglige les pertes fer et les frottements.
donc on obtient :
R
.
i
.
d
t
+
N
.
i
.
d
φ
=
F
d
x
+
d
W
m
{\displaystyle R.i.dt+N.i.d\varphi =Fdx+dW_{m}\,}
F
=
(
−
d
W
m
d
t
)
φ
=
c
s
t
e
{\displaystyle F=(-{\frac {dW_{m}}{dt}})\varphi =cste\,}
comme
W
n
+
W
m
′
=
φ
.
N
.
i
{\displaystyle W_{n}+W'_{m}=\varphi .N.i\,}
Cas particuliers
Stator lisse Rotor Lisse
Stator lisse Rotor Saillant
Stator Saillant Rotor lisse
Stator Saillant Rotor Saillant
