Filtration (probabilités)

En théorie des probabilités, une filtration est une famille de tribus dans l'ordre croissant et chaque prédécesseur est un sous-ensemble du successeur, c'est-à-dire

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t},\;s\leq t}$

pour les éléments de filtration ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$.

Avec la filtration on modélise le flux d'informations. Chaque élément ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ de la famille a l'information sur les événements qui étaient observables au temps ${\displaystyle t}$.

Soient ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ un espace de probabilité et ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}}$.

La famille ${\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ des sous-tribu ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ est une filtration si ordonnée par ordre croissant, cela signifie

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}}$

pour tout ${\displaystyle s\leq t}$.

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,P)}$ est un espace de probabilité filtré^[1].

Soit ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ un processus stochastique. La filtration naturelle est ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{0}:=\sigma (X_{s},s\leq t)}$. C'est la filtration minimale telle que ${\displaystyle X}$ soit adapté.

Soit ${\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ une filtration. On définit

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t^{-}}:=\bigvee _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}=\sigma \left(\bigcup \limits _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}\right)\quad ,\quad {\mathcal {F}}_{t^{+}}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s},}$

on a toujours

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t^{-}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}_{t^{+}}}$.

On définit

${\displaystyle \mathbb {F} ^{-}:=({\mathcal {F}}_{t^{-}})_{t\in T},\qquad \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\in T}.}$

• On appelle ${\displaystyle \mathbb {F} }$ filtration continue à gauche, si

${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {F} ^{-}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t^{-}}}$ pour tout ${\displaystyle t\in T.}$

• On appelle ${\displaystyle \mathbb {F} }$ filtration continue à droite, si

${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {F} ^{+}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t^{+}}}$ pour tout ${\displaystyle t\in T.}$

• On appelle ${\displaystyle \mathbb {F} }$ filtration continue, si

${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {F} ^{-}=\mathbb {F} ^{+}.}$

On définit également^[1]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }:=\bigvee _{t\in T}{\mathcal {F}}_{t^{-}}=\bigvee _{t\in T}{\mathcal {F}}_{t}=\bigvee _{t\in T}{\mathcal {F}}_{t^{+}}.}$

Pour un espace de probabilité ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ nous définissons l'ensemble ${\displaystyle P}$-négligeable

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{A\subset \Omega :{\text{ il y a un }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ avec }}A\subset B{\text{ et }}P(B)=0\}.}$

La filtration ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {F} }}=({\hat {\mathcal {F}}}_{t})_{t\in T}}$ avec

${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}_{t}:=\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {N}})}$

est appelé filtration augmentée^[2].

Pour un espace de probabilité filtré ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,P)}$ on dit que les conditions usuelles sont satisfaites si ${\displaystyle \mathbb {F} }$ est continue à droite et contient tout l'ensemble négligeable, c'est-à-dire

${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {F} _{t+}={\widehat {\mathbb {F} }}.}$

• (en) Daniel revuz et Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1999
• (de) David Meintrup et Stefan Schäffler, Stochastik: Theorie und Anwendungen, Springer, 2005

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