Coordonnées ellipsoïdales

En géométrie de l'espace, les coordonnées ellipsoïdales sont un système de coordonnées orthogonales tridimensionnelles ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ qui généralise le système de coordonnées elliptiques bidimensionnelles. Contrairement à la plupart des systèmes de coordonnées orthogonales tridimensionnelles qui présentent des surfaces de coordonnées quadratiques, le système de coordonnées ellipsoïdales est basé sur des quadriques confocales .

Les coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,y,z)}$ peuvent être générées à partir des coordonnées ellipsoïdales ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ par les équations

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}$

où les limites suivantes s'appliquent aux coordonnées

${\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

Par conséquent, les surfaces à ${\displaystyle \lambda }$ constant sont des ellipsoïdes

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}$

alors que les surfaces à ${\displaystyle \mu }$ constant sont des hyperboloïdes à une nappe

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}$

parce que le dernier terme du côté gauche est négatif et que les surfaces sont constantes ${\displaystyle \nu }$ sont des hyperboloïdes à deux nappes

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}$

parce que les deux derniers termes du côté gauche sont négatifs.

Le système orthogonal de quadriques utilisé pour les coordonnées ellipsoïdales est constitué de quadriques confocales (de mêmes foyers).

Pour plus de concision dans les équations ci-dessous, on introduit une fonction

${\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}$

où ${\displaystyle \sigma }$ peut désigner l'une des trois variables ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ . En utilisant cette fonction, les facteurs d'échelle peuvent être écrits

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}},\ h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}},\ h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}$

Par conséquent, l'élément de volume infinitésimal est égal à

${\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }$

et le Laplacien est défini par

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]}$

D'autres opérateurs différentiels tels que ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ et ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ peuvent être exprimés dans les coordonnées ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées dans les coordonnées orthogonales.

Il existe une paramétrisation alternative qui suit de près la paramétrisation angulaire des coordonnées sphériques^[1] :

${\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}$

${\displaystyle z=cs\cos \theta .}$

Ici, ${\displaystyle s>0}$ paramétrise les ellipsoïdes concentriques autour de l'origine et ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ et ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]}$ sont respectivement les angles polaires et azimutaux classiques des coordonnées sphériques. L'élément de volume correspondant est

${\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ellipsoidal coordinates » (voir la liste des auteurs).

• Latitude ellipsoïdale
• Focaloïde (coque donnée par deux surfaces de coordonnées)
• Projection cartographique de l'ellipsoïde triaxial

• (en) Philip M. Moore, Methods of Theoretical Physics, Part I, New York, McGraw-Hill, 1953 (ISBN 978-0070433168), p. 663
• (en) Daniel Zwillinger, Handbook of Integration, Boston, MA, Jones and Bartlett, 1992 (ISBN 0-86720-293-9), p. 114
• (de) Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, New York, Springer Verlag, 1967, 101–102 p. (LCCN 67025285)
• (en) Granino A. Korn et Theresa M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York, McGraw-Hill, 1961 (LCCN 59014456, lire en ligne), 176
• (en) Henry Margenau, The Mathematics of Physics and Chemistry, New York, D. van Nostrand, 1956, 178–180 (LCCN 55010911, lire en ligne)
• (en) Parry Moon Domina Eberle Spencer, Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, New York, Springer Verlag, 1988, 40–44 (Table 1.10) (ISBN 0-387-02732-7, lire en ligne), « Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ) »

• (en) Eric W. Weisstein, « Confocal Ellipsoidal Coordinates », sur MathWorld

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