Anneau des entiers

En algèbre commutative, l'anneau des entiers est une construction que l'on peut obtenir à partir de tout corps de nombres en considérant ses éléments entiers. Par exemple, l'anneau des entiers de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ est ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z} }$. Il existe des algorithmes efficaces pour calculer cet anneau pour tout corps de nombres^[1]. La notion peut en fait être étendue à d'autres objets (notamment les corps de fonctions), et porte une interprétation géométrique^[2].

Soit K un corps de nombres. Un élément de K est dit entier s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. L'ensemble des éléments entiers de K est un anneau, noté ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ et appelé l'anneau des entiers de K.

Une définition équivalente est que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ est l'unique ordre maximal de K.

• L'anneau ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ est un ordre, en particulier un ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-module de type fini sans torsion, possédant donc une base, appelée base intégrale. Si ${\displaystyle \{b_{1},\dotsc ,b_{n}\}}$ est une telle base, le nombre n est le degré de l'extension ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$.
• L'anneau ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ est un anneau de Dedekind, et possède donc la propriété de factorisation unique des idéaux.
• Les unités ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$ forment un ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-module de type fini par le théorème de Dirichlet.
• Le sous-groupe de torsion de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$ est constitué des racines de l'unité.
• Si ${\displaystyle K/F}$ est une extension finie d'un corps de nombres, alors la fermeture intégrale de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ dans K coïncide avec ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$.

• Soit d un entier sans facteur carré et soit ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ (qui est un corps quadratique si d ≠ 1). Alors, O_K est un anneau d'entiers quadratiques, égal à
  • ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$ si ${\displaystyle d\not \equiv 1{\bmod {4}}}$ (pour d = –1, c'est l'anneau des entiers de Gauss) ;
  • ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\right]}$ si ${\displaystyle d\equiv 1{\bmod {4}}}$ (en particulier, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z} }$).
• Plus généralement, soient m et n deux entiers sans facteur carré, ${\displaystyle k={\frac {mn}{(m\land n)^{2}}}}$, et
  ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}},{\sqrt {n}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}},{\sqrt {k}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {n}},{\sqrt {k}})}$ (qui est un corps biquadratique si m et n sont différents de 1 et distincts). Alors^[3],

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}={\begin{cases}\mathbb {Z} \left[{\sqrt {m}},{\sqrt {n}},{\frac {{\sqrt {n}}+{\sqrt {k}}}{2}}\right]&{\text{si }}m\equiv 3{\text{ et }}n\equiv k\equiv 2{\bmod {4}}\\\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}},{\sqrt {n}},{\frac {{\sqrt {n}}+{\sqrt {k}}}{2}}\right]&{\text{si }}m\equiv 1{\text{ et }}n\equiv k\not \equiv 1{\bmod {4}}\\\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}},{\frac {1+{\sqrt {n}}}{2}},{\frac {(1+{\sqrt {m}})(1+{\sqrt {k}})}{4}}\right]&{\text{si }}m\equiv n\equiv k\equiv 1{\bmod {4}}.\end{cases}}}$.

• L'anneau des entiers du n-ième corps cyclotomique ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ est ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$, et celui de son sous-corps réel maximal ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})}$ est ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}]}$^[4].

Si K est un corps local non archimédien, l'anneau O_K de ses entiers (défini de la même façon que pour un corps de nombres) est égal à sa boule unité fermée. Par exemple :

• pour tout nombre premier p, l'anneau des entiers du corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ des nombres p-adiques est l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ des entiers p-adiques ;
• l'anneau des entiers du corps ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$ des séries formelles de Laurent à coefficients dans le corps fini ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ est l'anneau ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}[[t]]}$ des séries formelles à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ;
• si K est un complété formel d'un corps de nombres F, alors ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ est le complété formel de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$.

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