Probabilité conditionnelle

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En théorie des probabilités, une probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement a eu lieu. Par exemple, si une carte d'un jeu est tirée au hasard, on estime qu'il y a une chance sur quatre d'obtenir un cœur ; mais si on aperçoit un reflet rouge sur la table, il y a maintenant une chance sur deux d'obtenir un cœur. Cette seconde estimation correspond à la probabilité conditionnelle d'obtenir un cœur sachant que la carte est rouge.

Les probabilités conditionnelles font l'objet de paradoxes tels que le paradoxe des deux enfants, le paradoxe des deux enveloppes, le paradoxe des trois pièces de monnaie et le paradoxe des prisonniers.

Définition

Soient un espace probabilisé, et B un événement de de probabilité non nulle. Pour tout événement A de , la probabilité conditionnelle de A sachant que B s'est réalisé (ou « probabilité de A sachant B ») est le nombre réel noté ou et défini par :

.

Propriétés

Sous les hypothèses ci-dessus :

  • l'application est une nouvelle probabilité sur  ;
  • A et B sont indépendants si et seulement si  ;
  • si l'événement A est (comme B) de probabilité non nulle, alors (voir « Théorème de Bayes »).

Exemples

Dans un univers d'une classe de lycée, soit B l'événement « un élève est une fille » et A « un élève pratique l'allemand »[1].

Univers de probabilité () = Classe de lycée.
(Fille) (Garçon) Totaux
(Allemand) 10 7 17
(Pas allemand) 4 9 13
Totaux 14 16 30

Dans cet univers, on peut calculer un certain nombre de probabilités conditionnelles. Par exemple, si l'on interroge au hasard une fille de la classe (B) quelle est la probabilité qu'elle pratique l'allemand (P(A|B)) ?

d'où

.

Espérance conditionnelle

Article détaillé : Espérance conditionnelle.

Soit un espace probabilisé, X une variable aléatoire réelle intégrable et B un événement de probabilité non nulle. On appelle espérance conditionnelle :

.

est l'espérance de X sachant que B s'est réalisé.

Densité conditionnelle

Soit , et soient et deux variables aléatoires définies sur cet espace. Si l'on suppose que leur loi jointe peut être définie par une densité bivariable , et si de plus un vérifie , alors il existe une loi absolument continue dont la densité est donnée par l'expression

.

Cette fonction est appelée : densité conditionnelle de sachant . Intuitivement, cette expression peut être interprétée comme une formulation continue du théorème de Bayes.

Notes et références

Voir aussi