Transformation bilatérale de Laplace

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En analyse, la transformation bilatérale de Laplace est la forme la plus générale de la transformation de Laplace, dans laquelle l'intégration se fait à partir de moins l'infini plutôt qu'à partir de zéro.

Définition

La transformée bilatérale de Laplace d'une fonction de la variable réelle est la fonction de la variable complexe définie par :

Cette intégrale converge pour , c'est-à-dire pour appartenant à une bande de convergence dans le plan complexe (au lieu de , désignant alors l'abscisse de convergence, dans le cas de la transformation monolatérale). De façon précise, dans le cadre de la théorie des distributions, cette transformée « converge » pour toutes les valeurs de pour lesquelles (en notation abusive) est une distribution tempérée et admet donc une transformation de Fourier.

Propriétés élémentaires

Les propriétés élémentaires (injectivité, linéarité, etc.) sont identiques à celles de la transformation monolatérale de Laplace.

Ambiguïtés à éviter

Il est essentiel, quand on utilise la transformation bilatérale de Laplace, de préciser la bande de convergence. Soit par exemple .

Si la bande de convergence est , l'« antécédent » de cette transformation de Laplace est la fonction de Heaviside . En revanche, si la bande de convergence est , cet antécédent est .

Convolution et dérivation

Soit et deux distributions convolables, par exemple ayant chacune un support limité à gauche, ou l'une d'entre elles étant à support compact. Alors (comme dans le cas de la transformation monolatérale),

En particulier, et , donc


Transformées de Laplace des hyperfonctions

On peut étendre la transformation de Laplace au cas de certaines hyperfonctions, dites « hyperfonctions de Laplace » ou « hyperfonctions de type exponentiel »[1]. Pour une hyperfonction définie par une distribution, on retrouve la théorie qui précède. Mais par exemple

bien que n'étant pas une distribution (car elle est d'ordre infini localement, à savoir en 0), est une hyperfonction dont le support est et qui admet pour transformée de Laplace

désigne la fonction de Bessel de première espèce habituelle, à savoir la fonction entière

On obtient en effet en substituant cette expression dans la précédente

ce qui est bien cohérent avec la définition de puisque .

Relation entre la transformation bilatérale et la transformation monolatérale

Théorie élémentaire

Soit une fonction définie dans un voisinage ouvert de , continue en 0, et admettant une transformée de Laplace bilatérale . Sa transformée monolatérale de Laplace, que nous noterons ici , est donnée par

est la fonction de Heaviside. On a

par conséquent

d'où la formule classique


Généralisation

Soit une distribution à support positif, une fonction indéfiniment dérivable dans un intervalle ouvert contenant , et . En posant , est une distribution à support positif, dont la transformée de Laplace est (en notation abusive)

est l'abscisse de convergence. Les distributions et ont même restriction à tout intervalle ouvert de la forme dès que est suffisamment petit. On peut donc écrire pour tout entier . D'autre part,

avec et, d'après la « théorie élémentaire » ci-dessus, . Finalement,


En procédant par récurrence, on obtient les formules générales de l'article Transformation de Laplace.

  • Formalisation[2] (fin)

Définissons maintenant la relation d'équivalence suivante : et désignant deux distributions telles que ci-dessus, nous écrirons si et ont même restriction à l'intervalle dès que est suffisamment petit. Alors ne dépend que de la classe d'équivalence de et qui est appelée un « germe » de fonction généralisée définie dans un voisinage de , et, par abus de langage, une « fonction généralisée à support positif » (voir l'article Transformation de Laplace). On écrira . Notons enfin que si, et seulement si .

Applications

La transformation de Laplace bilatérale est utilisée notamment pour la conception de filtres analogiques classiques (Butterworth, Tchebychev, Cauer, etc.)[3], pour le filtre optimal de Wiener, en statistiques où elle définit la fonction génératrice des moments d'une distribution, elle joue un rôle essentiel dans la formulation à temps continu de la factorisation spectrale causale directe et inverse, elle est très utilisée enfin pour résoudre les équations intégrales (voir l'article Opérateur intégral).

Généralisation au cas de plusieurs variables

La transformation bilatérale de Laplace se généralise au cas de fonctions ou de distributions à plusieurs variables, et Laurent Schwartz en a fait la théorie complète. Soit une distribution définie sur . L'ensemble des appartenant à pour lesquels (en notation abusive) est une distribution tempérée sur , est cette fois un cylindre de la forme est un sous-ensemble convexe de (dans le cas d'une variable, n'est autre que la bande de convergence évoquée plus haut). Soit alors pour dans la distribution (de nouveau en notation abusive). Cette distribution est tempérée. Notons sa transformation de Fourier. La fonction est appelée la transformée de Laplace de (notée ) et, avec , est notée . Ces remarques préliminaires étant faites, la théorie devient assez semblable à celle correspondant aux distributions d'une variable.

Considérations sur les supports

Le théorème de Paley-Wiener et sa généralisation due à Schwartz sont couramment énoncés à partir de la transformation de Fourier-Laplace (voir infra). Il peut tout aussi bien s'exprimer à partir de la transformation de Laplace, et on obtient alors l'énoncé suivant:

(1) Théorème de Paley-Wiener :

Pour qu'une fonction entière soit la transformée de Laplace d'une fonction indéfiniment dérivable sur de support inclus dans la "boule" fermée de centre et de rayon , notée , il faut et il suffit que pour tout entier , il existe une constante tels que pour tout appartenant à ,

désigne le produit scalaire usuel dans de et de .

(2) Théorème de Paley-Wiener-Schwartz :

Pour qu'une fonction entière soit la transformée de Laplace d'une distribution sur de support inclus dans , il faut et il suffit qu'il existe un entier et une constante tels que pour tout appartenant à ,

.

Un théorème dû à Jacques-Louis Lions donne d'autres informations sur le support d'une distribution à partir de sa transformée de Laplace. Dans le cas d'une seule variable, il prend la forme suivante (voir Inversion):

Pour qu'une fonction holomorphe sur soit la transformée de Laplace d'une distribution sur à support dans la demi-droite , il faut et il suffit que soit majorée, lorsque le réel est assez grand, par un polynôme en .

Ce théorème montre par exemple que l'hyperfonction considérée au paragraphe « Transformées de Laplace des hyperfonctions » n'est pas une distribution ayant son support en 0.

Transformée de Fourier-Laplace

En posant , on obtient la transformée de Fourier-Laplace. Considérons, pour simplifier, la transformée de Fourier-Laplace d'une fonction d'une variable réelle. On a alors , par conséquent si la bande de convergence de la transformée de Laplace est , celle de la transformée de Fourier-Laplace est .

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

  • Henri Bourlès, Linear Systems, John Wiley & Sons, , 544 p. (ISBN 1848211627)
  • Henri Bourlès et Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach, Springer, , 638 p. (ISBN 3642197264)
  • Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, vol. 6, Gauthier-Villars, (ISBN 2876472163)
  • (en) U. Graf, Introduction to Hyperfunctions and Their Integral Transforms, Birkhäuser, (ISBN 3034604076)
  • (en) Hikosaburo Komatsu, « Laplace transforms of hyperfunctions -A new foundation of the Heaviside Calculus- », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math, vol. 34,‎ , p. 805-820
  • (en) Alan V. Oppenheim  et Ronald W. Schafer , Discrete-Time Signal Processing, Prentice-Hall, (ISBN 0132067099)
  • Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, (ISBN 2705652132)
  • Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, (ISBN 2705655514)

Articles connexes