Topologie discrète

Topologie discrète

En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie discrète sur un ensemble est une structure d'espace topologique où, de façon intuitive, tous les points sont « isolés » les uns des autres.

Définitions

Soit X un ensemble. L'ensemble des parties de X définit une topologie sur X appelée topologie discrète. X muni de cette topologie est alors appelé espace discret.

On dit qu'une partie A d'un espace topologique X est un ensemble discret lorsque la topologie induite sur A est la topologie discrète.

Propriétés

La topologie discrète est la topologie possédant le plus d'ouverts qu'il soit possible de définir sur un ensemble X, en d'autres termes la topologie la plus fine possible. En ce sens, c'est l'opposé de la topologie grossière.

Parmi les autres propriétés d'un espace topologique discret X :

  • Tout sous-ensemble de X est un ouvert-fermé ;
  • Une application de X dans un espace topologique quelconque est toujours continue ;
  • X est complètement métrisable, par exemple par la distance discrète, i.e. la distance d définie par : d(x,y) = 1 si x ≠ y, et d(x,x) = 0 ;
  • En conséquence, X satisfait à tous les axiomes de séparation. En particulier, X est séparé ;
  • Si X est précompact pour l'une des distances induisant sa topologie (en particulier si X est compact) alors il est fini ;
  • Les singletons de X forment une base de sa topologie ;
  • Tout point de X admet un système fondamental de voisinages dénombrable (et même : fini), donc X est « à bases dénombrables de voisinages » ; X est à base dénombrable d'ouverts si et seulement s'il est dénombrable ;
  • X est totalement discontinu ;
  • Si X n'est pas vide, il est « de deuxième catégorie », i.e. non maigre dans lui-même ;
  • Un produit d'espaces discrets est discret si et seulement si tous sauf un nombre fini sont réduits au vide ou à un singleton.

Les propriétés suivantes caractérisent les espaces discrets et les espaces finis discrets :

  • Un espace topologique X est discret si et seulement si tous ses singletons sont ouverts ;
  • Un espace topologique fini X est discret si et seulement s'il est séparé, auquel cas il est même compact.

Enfin :

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Discrete space » (voir la liste des auteurs).