Système sexagésimal

Signes numériques « proto-cunéiformes » avec le système sexagésimal (60, 600, 3600, etc.).

Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base 60.

Au contraire de la plupart des autres systèmes numériques, le système sexagésimal n'est pas tant utilisé en informatique ou en logique pure, mais est pratique pour la mesure des angles et des coordonnées géographiques. L'unité standard du sexagésimal est le degré (360 degrés), puis la minute (60 minutes = 1 degré) puis la seconde (60 secondes = 1 minute). L'usage moderne du sexagésimal est assez proche de celui de la mesure du temps, dans lequel il y a 24 heures dans une journée, 60 minutes dans une heure et 60 secondes dans une minute. La mesure moderne du temps correspond de façon arrondie à la durée de la rotation de la terre (jours) et de sa révolution (année). Les décimales qui sont plus petites que la seconde sont mesurées avec le système décimal.

Histoire

Photographie de la tablette YBC 7289 avec des annotations montrant l'approximation de la √2 par une numération sexagésimale.

Le système sexagésimal semble avoir été utilisé pour la première fois par les Sumériens au IIIe millénaire av. J.-C. puis, au IIe millénaire av. J.-C., par les Babyloniens, qui ont inventé la numération mésopotamienne, comme en témoigne la tablette Plimpton 322.

La mesure du temps en Chine suit le cycle sexagésimal chinois entre 1191 et 1154 av. J.-C (Dynastie Shang). Le calendrier hindou fait de même depuis 3102 av. J.-C.

Il a beaucoup été utilisé par les astronomes et géographes grecs, tels Ptolémée ou Théon d'Alexandrie, qui nous laissent une méthode pour calculer la racine carrée de nombres écrits dans le système sexagésimal. Par la suite il a été utilisé également dans le monde arabo-musulman pendant la dynastie des Omeyyades, en particulier dans les versions du zij du mathématicien ouzbek Al-Khwarizmi, aujourd'hui connues sous le nom de « Table indienne », et par des mathématiciens européens comme Fibonacci.

Compter avec ses mains

Article détaillé : Compter sur ses doigts.

Certains peuples comme les vietnamiens, comptent leurs phalanges avec le pouce ; le pouce défile sur les trois phalanges des quatre autres doigts, soit douze phalanges.

Si par ailleurs on utilise les doigts de l'autre main pour les retenues, on a cinq retenues, soit 5×12 = 60 nombres. Selon l'historien des calculs Georges Ifrah, on peut supposer que la numération en base 60 vient de là[1].

Si on utilise les phalanges de l'autre main pour les retenues, soit 12 phalanges, on a 12×12 = 144 nombres, ce qui permet donc de compter jusqu'à 144+12 = 156 sur ses doigts.

Fractions

La base 60 a beaucoup plus de diviseurs (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60) que la base 10 (1, 2, 5 et 10) et soixante est le plus petit nombre divisible à la fois par 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Cela a pu être un énorme avantage tant que l'algorithme actuel de la division n'était pas connu. Cependant, avec la généralisation de la numération décimale de position, cette caractéristique a perdu beaucoup de son intérêt. Il arrive par exemple que, dans l'industrie ou le tertiaire, les durées soient exprimées en dixièmes d'heure (sociétés de conseil) ou en centièmes d'heures (chronométrage industriel). Malgré des tentatives d'introduction du système décimal, l'utilisation de sous-multiples sexagésimaux de l'heure perdure en raison de la grande antiquité de ceux-ci et de leur universalité. De même, on divise parfois le degré d'angle ou d'arc en centièmes, plutôt qu'en minutes et secondes (voir conversions ci-dessous).

Les Babyloniens utilisaient des tables d'inverses. Par exemple :

1/2 = 0 + 30/60
1/3 = 0 + 20/60
1/4 = 0 + 15/60
1/5 = 0 + 12/60
1/6 = 0 + 10/60
1/8 = 0 + 7/60 + 30/60²
1/9 = 0 + 6/60 + 40/60²
1/10 = 0 + 6/60
1/12 = 0 + 5/60
1/15 = 0 + 4/60
1/20 = 0 + 3/60
1/30 = 0 + 2/60
1/40 = 0 + 1/60 + 30/60²
1/60 = 0 + 1/60

Conversion de minutes et secondes en fraction décimale de degré

Les coordonnées géographiques sont souvent données en degrés (1/90 d'angle droit), minutes d'arc (1/60 de degré) et secondes d'arc (1/60 de minute d'arc), ce qui n'est pas gênant pour les ordinateurs qui travaillent en binaire. Cependant les informaticiens jugent parfois le système sexagésimal peu pratique à manipuler et, sans aller jusqu'à utiliser les grades (le grade étant 1/100 d'angle droit), préfèrent convertir les minutes et secondes en fractions décimales de degré (on emploie couramment dans ce cas le terme de "degrés décimaux", au risque de confusion avec les grades).

Formulation générale : latitude (degrés décimaux) = degrés + (minutes / 60) + (secondes / 3600)

Exemple : Soit une latitude de 45° 54' 36" (45 degrés, 54 minutes et 36 secondes).
Exprimée en degrés et fraction décimale de degré, la latitude sera : latitude = 45 + (54 / 60) + (36 / 3600) = 45,91°

Conversion d'une fraction décimale de degrés en minutes et secondes

Exemple : soit une longitude de 121,136°.

  1. Le nombre avant la virgule indique les degrés ⇒ 121°
  2. Multiplier le nombre après la virgule par 60 ⇒ 0,136 * 60 = 8,16
  3. Le nombre avant la virgule indique les minutes (8')
  4. Multiplier le nombre après la virgule par 60 ⇒ 0,16 * 60 = 9,6
  5. Le résultat indique les secondes (9,6").
  6. La longitude est donc de 121° 8' 9,6"

Notes et références

  1. (en) Samuel L. Macey, The Dynamics of Progress. Time, Method, and Measure, University of Georgia Press, (lire en ligne), p. 92

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes