Système sexagésimal

Signes numériques « proto-cunéiformes » avec le système sexagésimal (60, 600, 3600, etc.).

Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base 60.

Au contraire de la plupart des autres systèmes numériques, le système sexagésimal n'est pas tant utilisé en informatique ou en logique pure, mais est pratique pour la mesure des angles et des coordonnées géographiques. L'unité standard du sexagésimal est le degré (360 degrés), puis la minute (60 minutes = 1 degré) puis la seconde (60 secondes = 1 minute). L'usage moderne du sexagésimal est assez proche de celui de la mesure du temps, dans lequel il y a 24 heures dans une journée, 60 minutes dans une heure et 60 secondes dans une minute. La mesure moderne du temps correspond de façon arrondie à la durée de la rotation de la terre (jours) et de sa révolution (année). Les décimales qui sont plus petites que la seconde sont mesurées avec le système décimal.

Histoire

Photographie de la tablette YBC 7289 avec des annotations montrant l'approximation de la √2 par une numération sexagésimale.

Le système sexagésimal semble avoir été utilisé pour la première fois par les Sumériens au IIIe millénaire av. J.-C. puis, au IIe millénaire av. J.-C., par les Babyloniens, qui ont inventé la numération mésopotamienne, comme en témoigne la tablette Plimpton 322.

La mesure du temps en Chine suit le cycle sexagésimal chinois entre 1191 et 1154 av. J.-C (Dynastie Shang)[1].

Le calendrier hindou fait de même depuis 3102 av. J.-C. Il a également été utilisé par lies indiens d'Inde, qui ont put l'emprunter aux grecs de l'antiquité[2], et qui l'utilisaient après l'époque d'Alexandre[3]. En Inde, la position du chiffre sexagésimal était dénommé l' ouss; l' ouss du degrés était zéro, d'après Mohammed Sibth Almaridini[4]. En Inde, l'usage du zéro sexagésimal est recommandé, selon Mohammed Sibth Almaridini[5], afin de ne pas perdre la position des chiffres[6].

Le système sexagésimal a également été utilisé dans la culture arabe, qui l'a emprunté à la culture indienne, vers l'époque de Mohammed Sibth Almaridini[7].

Il a beaucoup été utilisé par les astronomes et géographes grecs, tels Ptolémée ou Théon d'Alexandrie, qui nous laissent une méthode pour calculer la racine carrée de nombres écrits dans le système sexagésimal. Par la suite il a été utilisé également dans le monde arabo-musulman pendant la dynastie des Omeyyades, en particulier dans les versions du zij du mathématicien ouzbek Al-Khwârizmî, aujourd'hui connues sous le nom de « Table indienne », et par des mathématiciens européens comme Fibonacci.

Ptolémée ou Théon n'ont utilisé le système sexagésimal que pour les sous mesures de l'unités[8].

Des influences du système sexagésimal ont pu subsister assez longtemps dans la vie quotidienne et marchande notamment pour certaines dénominations comme once, quintaux, douzaines, demi-douzaines, et Schock allemand [9].


Aujourd'hui, ce système sexagésimal ancien et accepté reste largement utilisé pour compter les minutes et les secondes, par la force de son ancrage, malgré certaines propositions d'utilisation de systèmes décimaux, même si son usage dans le domaine informatique s'avère parfois délicat.

Ouvrages anciens

Le traité préfacé par Mohammed Sibth Almaridini contient dix chapitres relatifs aux sujets suivants: addition, soustraction, table de multiplication sexagésimale nommée d'après la raison du rapport sexagésimal et de la raison pour laquelle on l'a dressée, détermination de l'espèce du produit de la multiplicaiton, multiplicaiton des quantités composées, espèce de la divisio et résultat de la division, extraction de racine, preuve et interpolation[6].

Notions métaphysiques

Selon certains aspect ésotériques, Hoang-ti aurait conçu le cycle sexagésimal des caractères et les douze tons musicaux[10].

Compter avec ses mains

Article détaillé : Dactylonomie.

Certains peuples comme les vietnamiens, comptent leurs phalanges avec le pouce ; le pouce défile sur les trois phalanges des quatre autres doigts, soit douze phalanges.

Si par ailleurs on utilise les doigts de l'autre main pour les retenues, on a cinq retenues, soit 5×12 = 60 nombres. Selon l'historien des calculs Georges Ifrah, on peut supposer que la numération en base 60 vient de là[11].

Si on utilise les phalanges de l'autre main pour les retenues, soit 12 phalanges, on a 12×12 = 144 nombres, ce qui permet donc de compter jusqu'à 144+12 = 156 sur ses doigts.

Raisons d'être

Plusieurs raisons d'être du Système sexagésimal ont été proposées:

  • Pour Théon d'Alexandrie c'est le plus petit nombre à contenir autant de diviseurs, ce que considère également Wallis
  • Formaleoni et Cantor font le rapprochement avec les 360 jours (environ) de l'année
  • Hoppe  établit un lien avec les triangles équilatéraux[12].

Propriétés mathématiques

Fractions

La base 60 a beaucoup plus de diviseurs (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60) que la base 10 (1, 2, 5 et 10) et soixante est le plus petit nombre divisible à la fois par 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Cela a pu être un énorme avantage tant que l'algorithme actuel de la division n'était pas connu.

Cette numérotation a fini par être délaissée par les civilisations suivantes, et aujourd'hui, elle ne reste utilisée que pour des usages spécifiques telle que la division d'heures et degrés en minutes et en secondes. Les propriétés mathématiques si elles ont pu être délaissés et devenir plus ou moins méconnues restent inchangées.

Rémanence

Cependant, avec la généralisation de la numération décimale de position, cette caractéristique a perdu beaucoup de son intérêt. Il arrive par exemple que, dans l'industrie ou le tertiaire, les durées soient exprimées en dixièmes d'heure (sociétés de conseil) ou en centièmes d'heures (chronométrage industriel). Malgré des tentatives d'introduction du système décimal, l'utilisation de sous-multiples sexagésimaux de l'heure perdure en raison de la grande antiquité de ceux-ci et de leur universalité. De même, on divise parfois le degré d'angle ou d'arc en centièmes, plutôt qu'en minutes et secondes (voir conversions ci-dessous).

Inversibilité et factorisation

Les Babyloniens utilisaient des tables d'inverses. Par exemple :

1/2 = 0 + 30/60
1/3 = 0 + 20/60
1/4 = 0 + 15/60
1/5 = 0 + 12/60
1/6 = 0 + 10/60
1/8 = 0 + 7/60 + 30/60²
1/9 = 0 + 6/60 + 40/60²
1/10 = 0 + 6/60
1/12 = 0 + 5/60
1/15 = 0 + 4/60
1/20 = 0 + 3/60
1/30 = 0 + 2/60
1/40 = 0 + 1/60 + 30/60²
1/60 = 0 + 1/60

De manière plus générale, les Babyloniens ne connaissant pas la décimale, celle-ci n'était pas écrite, elle était implicite. À la manière dont on sait qu'une bouteille de 75 centilitres, contient à la fois trois quart de litres et 75 centilitres, ou que 75% représente les trois quart.

Une des propriété est que les nombres qui peuvent s'écrire comme puissance de 3, 4 (ou 2) et 5 sont inversibles.

Le calcul de l'inverse consiste à trouver le nombre avec lequel le produit sera une puissance de 60 — dans notre exemple 3600 —. Pour les nombres dont les facteurs premiers sont 2, 3 et 5, cet inverse est exact. Il peut se calculer en prenant en compte dans le nombre recherché (l'inverse) les facteurs non pris en comptes dont le nombre d'origine, sachant que 3600 = 9 × 25 × 16.

Conversions

Conversion de minutes et secondes en fraction décimale de degré

Les coordonnées géographiques sont souvent données en degrés (1/90 d'angle droit), minutes d'arc (1/60 de degré) et secondes d'arc (1/60 de minute d'arc), ce qui n'est pas gênant pour les ordinateurs qui travaillent en binaire. Cependant les informaticiens jugent parfois le système sexagésimal peu pratique à manipuler et, sans aller jusqu'à utiliser les grades (le grade étant 1/100 d'angle droit), préfèrent convertir les minutes et secondes en fractions décimales de degré (on emploie couramment dans ce cas le terme de "degrés décimaux", au risque de confusion avec les grades).

Formulation générale : latitude (degrés décimaux) = degrés + (minutes / 60) + (secondes / 3600)

Exemple : Soit une latitude de 45° 54' 36" (45 degrés, 54 minutes et 36 secondes).
Exprimée en degrés et fraction décimale de degré, la latitude sera : latitude = 45 + (54 / 60) + (36 / 3600) = 45,91°

Conversion d'une fraction décimale de degrés en minutes et secondes

Exemple : soit une longitude de 121,136°.

  1. Le nombre avant la virgule indique les degrés ⇒ 121°
  2. Multiplier le nombre après la virgule par 60 ⇒ 0,136 * 60 = 8,16
  3. Le nombre avant la virgule indique les minutes (8')
  4. Multiplier le nombre après la virgule par 60 ⇒ 0,16 * 60 = 9,6
  5. Le résultat indique les secondes (9,6").
  6. La longitude est donc de 121° 8' 9,6"

Application

La musique occidentale est basé sur des rapports impliquant les chiffres 3, 4 (=2x2) et 5. Cette découverte a été attribuée à Pythagore par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation d'accords similaires remontent aux babyloniens vers le IVe millénaire av. J.-C.[13].

Notes et références

  1. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k11286h/f60.item
  2. Franz Woepcke, Sur l'introduction de l'arithmétique indienne en occident et sur deux documents importants publiés par le Prince Don Balthazar Boncompagni et relatifs à ce point de l'histoire des sciences, Impr. des sciences mathématiques et physiques, (lire en ligne)
  3. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57898770/f67.image
  4. Franz (1826-1864) Woepcke, Sur l'introduction de l'arithmétique indienne en occident et sur deux documents importants publiés par le Prince Don Balthazar Boncompagni et relatifs à ce point de l'histoire des sciences / par M. F. Woepcke,..., Impr. des sciences mathématiques et physiques, (lire en ligne)
  5. De son nom complet: B*dr Eddin Abou Abdallah Mohammed Ben Mohammed Ben Ahmed Almihcri Sibth Almaridini
  6. a et b http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57898770/f77.image
  7. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57898770/f65.image
  8. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k547435/f119.item
  9. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k547435/f113.item
  10. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k11286h/f46.item
  11. (en) Samuel L. Macey, The Dynamics of Progress. Time, Method, and Measure, University of Georgia Press, (lire en ligne), p. 92
  12. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k547435/f110.item
  13. (en) M.L. West, « The Babylonian Musical Notation and the Hurrian Melodic Texts », Music & Letters, vol. 75, no 2,‎ , p. 161-179.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes