Surface (géométrie analytique)

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En géométrie analytique, on représente les surfaces, c'est-à-dire les ensembles de points sur lequel il est localement possible de se repérer à l'aide de deux coordonnées réelles, par des relations entre les coordonnées de leurs points, qu'on appelle équations de la surface ou par des représentations paramétriques.

Cet article étudie les propriétés des surfaces que cette approche (appelée souvent extrinsèque) permet de décrire. Pour des résultats plus approfondis, voir Géométrie différentielle des surfaces.

Propriétés affines

On suppose dans tout cet article qu'on a muni l'espace d'un repère, dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées.

Représentation paramétrique

Une nappe paramétrée est la donnée de trois fonctions de deux variables (définies sur un disque ouvert, un rectangle ou plus généralement un ouvert de )

.

qui représentent les coordonnées d'un point M par rapport à un repère

On a envie de dire qu'une surface est l'image d'une nappe paramétrée. Mais quelques précautions sont nécessaires : si on prend f(u,v)=u, g(u,v)=h(u,v)=0 on a une nappe paramétrée dont l'image est une droite.

Dans le cas où est injective, tout point M de S admet un couple unique (u,v) pour antécédent.

Un cas particulier important de nappe paramétrée est celui du graphe d'une fonction de deux variables : lorsque . On obtient alors une surface représentée par l’équation cartésienne .

Équation d'une surface

Étant donnée une fonction H de trois variables, l'ensemble des points M dont les coordonnées, dans le repère que l'on s'est donné vérifientH(x,y,z)=0 est une surface. Lorsqu'au voisinage d'un point de S, l'équation peut être résolue en z, on est ramené, dans ce voisinage, à l'équation cartésienne . C'est le cas quand .

Plus de précisions

Si on se contente des points de vue qui précèdent, on obtient des exemples qu'il vaudrait mieux exclure (cf. la nappe ). De plus passer du paramétrage à une équation ou inversement n'a rien d'évident.

Une nappe paramétrée est régulière si

  1. est de classe
  2. les vecteurs et sont partout linéairement indépendants.

Exemples

  • La nappe paramétrée associée à une surface d'équation cartésienne z=h(x,y) est régulière (si h est )
  • Si F est , et si ses dérivées partielles ne s'annulent pas simultanément sur , alors est localement un graphe, d'après le théorème des fonctions implicites.

En fait, un cas particulier du théorème des fonctions implicites est le résultat suivant.

Théorème — Pour une partie les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

  • Pour tout il existe un ouvert U de tel que soit l'image d'une nappe paramétrée régulière.
  • Pour tout il existe un ouvert V de tel que soit (après permutation des coordonnées au besoin) le graphe d'une fonction .

En pratique, les surfaces que l'on étudie sont le plus souvent des réunions d'image de nappes régulières. Quand ce n'est pas le cas, on regarde au cas par cas.

Exemples

  • La sphère de centre O et de rayon 1 a pour équation . On peut aussi considérer la nappe paramétrée

qui est régulière et injective sur mais non surjective. Les nombres u et v correspondent à la longitude et à la latitude des géographes. Mais la régularité se perd pour . En tout état de cause, il est impossible de réaliser la sphère tout entière avec une nappe régulière injective : une telle nappe donnerait un homéomorphisme de la sphère avec un ouvert du plan.

  • l'équation représente le cône de révolution d'axe Oz et d'angle .

C'est l'image de la nappe paramétrée

qui est régulière si .

  • une surface de révolution d'axe Oz peut être réalisée par une équation de la forme (avec ) ou une nappe paramétrée .

Courbes coordonnées

Représentation des courbes coordonnées d'une surface S.

Soit S la surface définie par avec (constante), cette surface d'équation est appelée courbe coordonnée .

Quand parcourt toutes les valeurs acceptables , la réunion des courbes est la surface S.

Le même procédé vaut pour la définition des courbes d'équation .

Courbe tracée sur une surface

Elle est définie par une application et est constituée de l'ensemble des points M d'équation :

, contenue dans S et dite tracée sur S.

Tangentes et plan tangent à une surface

On appelle tangente à une surface S au point toute tangente à une courbe tracée sur S contenant .

Soit une fonction et, au voisinage de , les dérivées partielles vectorielles et continues en .

Si les vecteurs et sont indépendants (non colinéaires), tous les vecteurs tangents en aux courbes tracées sur et passant par ce point sont dans le plan passant par et contenant ces deux vecteurs. C'est par définition le plan tangent à au point .

Soit un plan tangent défini par le point , et deux vecteurs non colinéaires :

, et

Son équation est :

Par exemple si l'équation de est de la forme , en posant et on a :

Si l'équation de est de forme implicite et si l'une des dérivées partielles de f en est non nulle, on peut se ramener au cas ci-dessus grâce au théorème des fonctions implicites. Par exemple si , on peut écrire , et l'on a

.

L'équation du plan tangent s'écrit alors

,

ou, sous forme vectorielle,

.

Propriétés métriques

Normale à une surface

Le plan tangent à la surface au point est engendré par les vecteurs et .

On appelle normale à la surface au point la normale au plan tangent : elle admet donc pour vecteur directeur .

Ses équations sont :

,

avec, par exemple, le jacobien égal à .

Dans le cas où la surface est définie par une équation cartésienne , l'équation de la normale en au point est donnée par

Dans le cas où la surface est définie par une équation implicite , la normale en au point a pour vecteur directeur le gradient de en , et l'équation s'écrit

,

ou, sous forme vectorielle :

.

Intersection de deux surfaces

IntersectionSurfaces.JPG

Soit la courbe , intersection des surfaces et dont les équations sont :

, et .

Ces deux surfaces admettent chacune un plan tangent en , respectivement notés et .

La droite résultant de l'intersection des plans et est la tangente en à .

Elle admet pour vecteur directeur :

Soit l'équation :


L'équation du plan normal à en est le plan défini par ,

Son équation est :

Voir aussi

Bibliographie

  • Michèle Audin, Géométrie (chap. 8), Belin 2008, (ISBN 2-7011-2130-2)

Articles connexes