Problème à N corps

Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions et vitesses initiales.

Il s'agit d'un problème mathématique fondamental pour l'astronomie classique, c’est-à-dire dans le cas où les effets de la relativité générale peuvent être négligés : vitesses des corps petites devant la vitesse de la lumière dans le vide, et champs de gravitation faibles, ce qui est essentiellement le cas dans le Système solaire.

Le problème à N corps se pose également dans le cadre de la relativité générale ; son étude y est encore plus difficile que dans le cadre newtonien.

Formulation mathématique

Le problème à N corps est modélisé par une équation différentielle. Étant donné les valeurs initiales des positions q j(0) et des vitesses des N particules (j = 1, 2, …, N) avec q j(0) ≠ q k(0) pour tout j et k distincts, il s'agit de trouver une solution du système du second ordre

où G est la constante gravitationnelle, m1, m2, …, mN sont des constantes représentant les masses des N particules, et q1, q2, …, qN sont leurs vecteurs position (à trois dimensions) dépendant du temps t.

Cette équation est simplement la seconde loi du mouvement de Newton ; le terme de gauche est le produit de l'accélération de la particule et de sa masse, tandis que le terme de droite est la somme des forces qui s'exercent sur la particule. Ces forces sont des forces gravitationnelles, proportionnelles aux masses concernées et variant proportionnellement à l'inverse du carré de la distance de ces masses. Puisqu'il faut tenir compte de la direction de ces forces, il faut insérer un q j - q k au numérateur et le compenser par un cube au dénominateur (et non plus un simple carré).

Problème à deux corps ou mouvement képlérien

Premier triomphe de la mécanique de Newton, le problème à deux corps est entièrement soluble analytiquement. Toutefois, dans les cadres de la relativité générale et dans celui de la relativité restreinte, le problème à deux corps n'admet pas de solution analytique exacte.

Problème à N corps

En dehors de quelques cas rarissimes où une solution exacte est connue, il faut en général recourir à des méthodes de résolutions approchées. Deux approches sont utilisées :

Depuis les travaux de Henri Poincaré (en particulier le théorème qu'il a publié en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique[1]), on sait par ailleurs que dès le problème à 3 corps, apparaissent des solutions sensibles aux conditions initiales, et pour lesquelles une solution analytique, même approchée, est illusoire ; seules les méthodes statistiques de la théorie ergodique s'appliquent à ce cas.

Remarque sur le problème à trois corps

Contrairement à une idée répandue, le problème à trois corps possède une solution analytique exacte, découverte par Karl Sundman en 1909[2]. Malheureusement, cette solution se présente sous la forme d'une série infinie qui converge très lentement, ce qui la rend inutile en pratique pour faire des prédictions en un temps raisonnable.

Jean Chazy en propose une solution en 1920[3],[4].

Le problème à trois corps a trouvé un renouveau par la solution périodique en huit, trouvée par Alain Chenciner et Richard Mongomery[5].

L'article sur les points de Lagrange en décrit une solution pour un cas particulier.

Annexes

Articles connexes

Bibliographie

Initiation

Accessibles à partir du premier cycle universitaire.

  • (en) Florin Diacu & Philip Holmes ; Celestial Encounters - The Origin of Chaos, Princeton University Press (1996), (ISBN 0-691-00545-1). L'origine du « chaos » moderne se trouve dans les travaux pionniers d'Henri Poincaré réalisés à la fin du XIXe siècle à propos d'un vieux problème de mécanique Newtonienne : le problème à N corps. Les auteurs du présent ouvrage, mathématiciens spécialistes du domaine, retracent élégamment l'histoire de ce problème et de ses développements de Poincaré à nos jours.
  • (en) Forest R. Moulton ; An introduction to celestial mechanics, Dover (1970) (ISBN 0-486-64687-4). Réédition de la seconde édition publiée originellement en 1914 ; un ouvrage d'introduction très clair.
  • (en) Bill Casselman ; The three body problem, Société Américaine de Mathématiques. Quelques solutions exactes du problème à trois corps, des plus anciennes (Euler, Lagrange, Hill) à la plus récente : la chorégraphie en forme de 8 d'Alain Chenciner et al. (2000).
  • (en) Sverre J. Aarseth ; www.sverre.com. Le site personnel d'un professeur d'astronomie à l'université de Cambridge spécialiste de l'intégration numérique des équations différentielles du problème à N corps. On peut d'ailleurs télécharger ses codes de calcul sur le serveur ftp de l'université de Cambridge, ou encore à partir de cette page web.

Textes plus techniques

Les modernes
  • Malte Henkel ; Sur la solution de Sundman du probleme des trois corps, Philosophia Scientiae 5 (2) (2001), 161-184. Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/0203001.
  • (en) Douglas C. Heggie ; The Classical Gravitational N-Body Problem, Encyclopaedia of Mathematical Physics, Elsevier (A paraître : 2006). Texte complet disponible sur l'ArXiv : astro-ph/0503600.
  • (en) Vladimir Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt ; Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2e édition-1993).
  • (en) Vladimir Arnold ; Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2e édition-1989) (ISBN 0-387-96890-3). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes Lagrangien & Hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.
  • (en) Christian Marchal : The three-body problem, Elsevier , 1990; (ISBN 0-444-41813-X) : livre avec beaucoup de détails très précieux pour un élève de dynamique des systèmes gravitationnels. Évidemment, il ne peut intégrer les travaux de Chenciner, Simo, Saari.
  • (en) Carl L. Siegel & Jürgen Moser ; Lectures on celestial mechanics, Classics in Mathematics, Springer-Verlag (1995). Quelques résultats mathématiques sur le problème à trois corps. Niveau second cycle universitaire minimum.
  • (en) June Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, AMS & LMS, coll. « History of Mathematics » (no 11), (lire en ligne)
  • (en) Donald G. Saari ; Collisions, Rings, and Other Newtonian N-Body Problems, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 104, American Mathematical Society (2005), (ISBN 0-8218-3250-6).
  • (en) Kenneth R. Meyer, Glen R. Hall ; Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem, Applied Mathematical Sciences 90, Springer-Verlag (1991), (ISBN 0-387-97637-X).
  • (en) Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (mai 1989) ASIN : 0201094061. Il existe aussi en français! Problèmes ergodiques de la mécanique classique ; ed Gauthier-villars , 1967.
Les classiques
  • Pierre-Simon Laplace, Traité de mécanique céleste, Éditions Jacques Gabay, 1990. Réédition d'un ouvrage classique de la fin du XIXe siècle, en 4 volumes. — Niveau second cycle universitaire.
  • François-Félix Tisserand, Traité de mécanique céleste, Éditions Jacques Gabay, 1990. Réédition d'un ouvrage classique de la fin du XIXe siècle, en 4 volumes. — Niveau second cycle universitaire.
  • Henri Poincaré, Leçons de mécanique céleste, 3 tomes, 1905-1910, réédité par Jacques Gabay, Paris, 2003. — Une somme de référence, par le grand mathématicien qui a tant contribué au sujet. Niveau second cycle universitaire.

Analyse numérique

  • (en) Sverre J. Aarseth ; Gravitational N-body Simulations: Tools and Algorithms, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press (2003), (ISBN 0-521-43272-3).
  • (en) Piet Hut and Jun Makino ; The Art of Computational Science [1]
  • (en) A. Marciniak ; Numerical Solutions of the N-Body Problem, Mathematics and its Applications, Springer-Verlag (1989), (ISBN 90-277-2058-4).

Quelques travaux récents

  • (en) Alain Chenciner & Richard Montgomery ; A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses, Annals of Mathematics (2) 152 (2000), no. 3, 881--901. Texte complet disponible sur l'ArXiv : math.DS/0011268.
  • (en) Cristopher Moore & Michael Nauenberg ; New Periodic Orbits for the n-Body Problem, (2005). Texte complet disponible sur l'ArXiv : math.DS/0511219.
  • (en) C. Duval, G. Gibbons & P. Horvathy ; Celestial Mechanics, Conformal Structures, and Gravitational Waves, Physical Review D 43 (1991), 3907. Texte complet disponible sur l'ArXiv : hep-th/0512188.

Références

  1. Henri Poincaré, « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », Acta Mathematica, vol. 13,‎ , p. 1-270
  2. Malte Henkel ; Sur la solution de Sundman du problème des trois corps, Philosophia Scientiae 5 (2) (2001), 161-184. Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/0203001.
  3. Jean Chazy ; Sur les solutions isocèles du problème des trois corps", Bulletin astronomique, 1920-21.
  4. « Travaux de Chazy », sur asa3.univ-lille1.fr.
  5. http://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problem