Parallélogramme

En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en leurs milieux[1].

Un parallélogramme.

Définitions équivalentes

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En géométrie purement affine, un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme (au sens défini en introduction) si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  • les vecteurs et sont égaux ;
  • les vecteurs et sont égaux.

Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est à dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC)[2].

En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :

  • le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
  • il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
  • ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
  • c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

Propriétés

Cas particuliers

Aire

L'aire d'un parallélogramme est égale à celle du rectangle de mêmes base et hauteur.

Soient la longueur d'un côté du parallélogramme et la longueur de la hauteur associée. L'aire du parallélogramme vaut :

L'aire d'un parallélogramme est aussi donnée par un déterminant.

Antiparallélogramme

Un antiparallélogramme.
Article détaillé : Antiparallélogramme.

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

Équipollence et vecteurs

Articles détaillés : Équipollence (mathématiques) et Vecteur.
(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).

Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :

  • on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
  • deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme ;
La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.
  • on appelle vecteur la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

On retrouve alors qu'un quadrilatère (ABCD) est un parallélogramme si et seulement si .

Voir aussi

Notes et références

  1. a et b M. Troyanov, Cours de géométrie, PPUR, 2002, p. 13.
  2. Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, , exercice 1, p. 50.