Mécanique des fluides

Photo noir et blanc d'une hélice et des bulles créées par cavitation dans l'eau.
Cavitation générée par une hélice.

La mécanique des fluides est un domaine de la physique dédié à l’étude du comportement des fluides (liquides, gaz et plasmas) et des forces internes associées. C’est une branche de la mécanique des milieux continus qui modélise la matière à l’aide de particules assez petites pour relever de l’analyse mathématique mais assez grandes par rapport aux molécules pour être décrites par des fonctions continues.

Elle se divise en deux parties, la statique des fluides qui est l’étude des fluides au repos et la dynamique des fluides, qui est l’étude des fluides en mouvement.

Aujourd’hui, la dynamique des fluides est un domaine actif de la recherche avec de nombreux problèmes non résolus ou partiellement résolus. Elle utilise systématiquement des méthodes numériques appelées « mécanique des fluides numérique » (MFN), ou en anglais computational fluid dynamics (CFD).

Historique

Jusqu'au XVIIIe siècle

Avant qu'elle ne soit étudiée, la mécanique des fluides a été largement employée pour des applications quotidiennes comme l'irrigation en agriculture, les canaux, les fontaines, etc. La sédentarisation des humains a entraîné la nécessaire invention de moyens de maîtrise de l'eau. L'irrigation à petite échelle serait née vers 6500 av. J.-C. à la fin du Néolithique. On commence à trouver de grands ouvrages hydrauliques (canaux, irrigation gravitaire) vers 3000 av. J.-C. Vers cette époque des instruments ont déjà été inventés pour mesurer le niveau des crues, des zones de marécages sont drainées et asséchées, barrages et digues pour se protéger des crues sont construits sur le Nil, le Fleuve Jaune et l'Euphrate[1]. Il est possible que les plus vieux aqueducs aient été construits en Crète au IIe millénaire av. J.-C. et en Palestine au XIe siècle av. J.-C.[2]

L’étude de l'eau et de son comportement mécanique ne passe des applications concrètes à la théorie que tardivement. À Alexandrie au IIIe siècle av. J.-C., Archimède étudie avec les disciples d'Euclide et, en revenant à Syracuse, formule des principes qui sont à l’origine de la statique des fluides notamment avec son principe éponyme[3]. Héron d'Alexandrie au Ier siècle a poursuivi le travail de statique des fluides en découvrant le principe de la pression[4] et surtout du débit[3].

Durant l'antiquité tardive les grands travaux hydrauliques se poursuivent et se raffinent avec des aqueducs, des systèmes de distribution et d'assainissement de l'eau, mais aussi les fontaines et les bains[3]. Ces travaux sont décrits par Frontin. Comme la plupart des sciences, l'hydrostatique et l'hydraulique disparaissent en partie de l'Europe pendant le moyen âge, la migration du savoir se faisant de l'ancien empire gréco-romain vers l'empire arabe. L'âge d'or islamique voit d'abord la traduction des œuvres d'Archimède, d'Euclide[n 1], et la publication du Livre des mécanismes ingénieux  ou Kitāb al-Ḥiyal, ouvrage traitant de l'hydraulique et de l'hydrostatique d'Archimède[2],[5].

Du point de vue des édifices hydrauliques, si le Moyen Âge voit la disparition du système d'irrigation de la Mésopotamie à cause des invasions mongoles provoquant l'effondrement de la population locale, au VIIe siècle sous la dynastie Sui s'achève la première étape des travaux du Grand Canal qui relie Nord et Sud de la Chine[2].

La mécanique des fluides n'est étudiée à nouveau en Europe qu'avec les études de Léonard de Vinci au XVe siècle qui décrit à la fois les multiples types d'écoulements et formule le principe de conservation de la masse ou principe de continuité, prenant ainsi la suite de Héron. C'est lui qui jette les fondements de la discipline et introduit de nombreuses notions d'hydrodynamiques dont les lignes de courant. Comprenant intrinsèquement la problématique de résistance à l'écoulement, il conçoit le parachute, l'anémomètre et la pompe centrifuge[6].

Époque moderne

Personnalités de l'histoire de la mécanique des fluides (liste non exhaustive).

Il faut attendre l'inclusion des mathématiques à la physique pour que la mécanique des fluides gagne en profondeur. En 1738 Daniel Bernoulli établit des lois applicables aux fluides non visqueux en utilisant le principe de conservation de l'énergie mécanique. La naissance du calcul différentiel permet à Jean le Rond D'Alembert en 1749 d'exposer, en 137 pages, les bases de l'hydrodynamique en présentant le principe de la pression interne d'un fluide, du champ de vitesse et des dérivées partielles appliquées aux fluides. Leonhard Euler complète plus tard l'analyse de D'Alembert sur la pression interne et les équations de dynamique des fluides incompressibles[4].

En 1755 Euler publie ainsi un traité qui donne les équations à dérivées partielles décrivant les fluides parfaits incompressibles. Un peu avant, en 1752, D'Alembert relève le paradoxe à son nom qui montre que les équations contredisent la pratique : un corps plongé dans un fluide se mouvrait sans résistance d'après la théorie, ce que l'observation contredit directement. L'introduction par Henri Navier en 1820 de la notion de frottement sous forme d'un nouveau terme dans les équations mathématiques de mécanique des fluides. George Gabriel Stokes aboutit en 1845 à une équation permettant de décrire un écoulement de fluide visqueux[4]. Les équations de Navier-Stokes marqueront toute la suite de l'histoire de la mécanique des fluides.

Cette suite prend corps dans la seconde moitié du XVIIIe siècle et la première du XXe siècle[7] :

Au cours de cette période un nouveau chapitre est ouvert par Ludwig Boltzmann avec la description statistique des gaz au niveau microscopique. Ce domaine sera développé par Martin Knudsen pour le domaine inaccessible à une description relevant de l'hypothèse du continu. David Enskog et Sydney Chapman montreront comment passer pour les gaz du niveau moléculaire au continu, permettant ainsi le calcul les coefficients de transport (diffusion, viscosité, conduction) à partir du potentiel d'interaction moléculaire.

Toutes les travaux théoriques s'appuient sur les travaux fondamentaux antérieurs de mathématiciens comme Leonhard Euler[9], Augustin Louis Cauchy ou Bernhard Riemann.

Par ailleurs le développement de nombreuses installations d'essai et de moyens de mesure permet d'obtenir de nombreux résultats. Tous ne sont pas explicables par la théorie et on voit apparaître un grand nombre de nombres adimensionnels permettant une explication et une justification d'essais effectués sur maquette en soufflerie ou bassin de carène. Deux mondes scientifiques se côtoient et très souvent s'ignorent jusqu'à la fin du XIXe siècle[10],[11]. Ce gap disparaîtra sous l'impulsion de gens comme Theodore von Kármán ou Ludwig Prandtl au début du XXe siècle.

Époque récente

Le calcul numérique naît dans la seconde moitié du XXe siècle. Il va permettre l'éclosion d'une nouvelle branche de la mécanique des fluides, la mécanique des fluides numérique. Elle est basée sur l'avènement de calculateurs toujours plus puissants mais aussi de méthodes mathématiques permettant le calcul numérique. La puissance de calcul permet la réalisation d'« expériences numériques » qui concurrencent les moyens d'essai ou permettent l'interprétation plus aisée de ceux-ci. Ce type d'approche est couramment utilisée dans l'étude de la turbulence.

Le second fait d'importance dans cette période est l'augmentation considérable du nombres de personnes impliquées dans la recherche et développement. Les découvertes sont devenues plutôt le fait d'équipes que d'individus.

Échelles et nature du problème

Niveau microscopique

Au niveau le plus bas de la modélisation on décrit le milieu par position et vitesse de chaque particule constitutive et le potentiel d'interaction entre elles. Cette approche est bien sûr limitée par la quantité d'information qu'elle suppose. Elle est utilisée :

  • en pratique dans les méthodes de dynamique moléculaire où elle constitue une véritable expérience numérique possible pour un liquide comme pour un gaz,
  • en théorie pour des tentatives de construction ab initio d'un système formel de description macroscopique du milieu. Ce type d'approche est extrêmement difficile et peu de résultats ont été obtenus depuis les travaux de Jean Leray. En particulier l'existence de solutions régulières des équations de Navier-Stokes fait l'objet du prix Clay.

Pour les gaz et à un niveau moins détaillé on se contente de décrire la distribution statistique des vitesses et éventuellement de tous les autres degrés de liberté (énergie interne, rotation et vibration dans le cas de molécules). Ludwig Boltzmann a ainsi réussi à écrire l'équation cinétique qui porte son nom. Cette fonction du temps, de la position et de la vitesse peut être calculée à partir d'outils comme la simulation directe Monte Carlo ou la méthode de gaz sur réseau particulièrement bien adaptée aux milieu poreux. Il s'agit de calculs coûteux en raison de la dimension 7 du problème. Pour cette raison on utilise généralement un potentiel d'interaction peu réaliste physiquement mais conduisant à des résultats acceptables.

Niveau mésoscopique

Par ce vocable on entend la description de phénomènes descriptibles à une échelle grande devant la précédente mais petite devant l'échelle du continu.

Concept de particule élémentaire du fluide

La particule fluide décrit un fluide à l'échelle mésoscopique : c'est un volume de dimension suffisamment petite pour que les propriétés du fluide ne varient pas spatialement dans la particule et suffisamment grand pour qu'une quantité importante de molécules soient comprises dedans de manière à moyenner les fluctuations statistiques[12].

On peut effectuer dans cette particule un bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie en utilisant les flux correspondants sur les limites du domaine. Cette approche conduit à l'écriture des équations de conservation correspondantes et, par passage à la limite, aux équations descriptives du phénomène. Cette méthode est aussi la base de la description numérique, le volume élémentaire étant alors la maille élémentaire du calcul.

Suppression des détails de taille intermédiaire

La géométrie étudiée peut comprendre des détails dont la prise en compte explicite va rendre le problème coûteux, par exemple une rugosité de la surface ou le détail de la géométrie d'un milieu poreux. Dans ce dernier cas les méthodes bien connues de la prise de moyenne volumique ou de l'homogénéisation permettent le calcul de quantités intervenant sous forme de coefficients comme le coefficient de diffusion dans l'équation de Darcy. Dans le cas d'une rugosité l'homogénéisation aboutit à l'écriture d'une relation de saut à la paroi, c'est-à-dire une relation liant toute valeur à sa dérivée spatiale.

On peut faire également entrer dans cette catégorie les phénomènes de raréfaction dans un choc ou une couche pariétale. Dans ces régions d'espace les équations du continu sont invalides sur une distance de quelques libres parcours moyens. On peut généralement les ignorer. Lorsque ce n'est pas les cas leur modélisation aboutit comme précédemment à des équations de saut. Les relations de Rankine-Hugoniot en sont un exemple.

Enfin, et ce n'est pas le moindre problème, on peut faire disparaître toutes les fluctuations d'un écoulement turbulent par des méthodes de moyennage très diverses, pouvant ramener le problème à une simple diffusion équivalente. Là aussi le but est de simplifier le calcul, possible par la simulation directe, mais coûteux.

Niveau macroscopique

Le niveau macroscopique résulte donc d'une simplification drastique de tous les détails du problème, lesquels sont tout de même présents au travers des coefficients qui interviennent dans les équations descriptives, des conditions aux limites et de l'équation d'état du milieu.

Compressible et incompressible

Ces notions qui séparent nettement deux types d'écoulements ont une origine microscopique :

  • le caractère compressible généralement associé à un gaz est lié au fait qu'un tel milieu est formé d'objets très espacée ayant des interactions rares, caractérisées par un potentiel particule-particule. Ceci est vrai même dans le cas de milieux contenant des espèces chargées en faible proportion, où les électrons ne sont pas totalement libres et accompagnent (statistiquement) les ions (diffusion ambipolaire). La connaissance de ces potentiels, aujourd'hui d'origine spectroscopique[n 2], est suffisante pour permettre le calcul de toutes les propriétés de transport du milieu : coefficients de diffusion binaire et thermique (équations de Stefan-Maxwell), viscosités dynamique et volumique, conductivité. Ce caractère de milieu peu dense n'est pas affecté par un changement de pression donc une variation du libre parcours moyen entre deux collisions.
  • le caractère d'incompressibilité associé aux liquides est lié aux liaisons que voit une particule dans un tel milieu. Elle est en effet liée à plusieurs voisins, même si ces liaisons ne sont pas aussi strictes que dans un solide. Ce caractère interdit une approche formelle comme dans les gaz : les propriétés de transport sont mesurées, la théorie ne permettant que d'expliquer les variations avec la température par exemple[13]. Ce caractère d'incompressibilité n'est pas insurmontable : une pression très élevée de quelques centaines de GPa tel que rencontré dans le noyau terrestre met en évidence une variation de masse volumique des composants liquides.

Équations de la mécanique des fluides

On considère ici les équations de Navier-Stokes pour un fluide simple (newtonien), qui sont la pierre angulaire du domaine et à partir desquelles on déduit de nombreuses autres lois.

Ces équations sont écrites dans un repère fixe, mais il existe deux façons d'exprimer les différentes grandeurs en fonction de la position : soit en fonction des coordonnées actuelles dans le repère (description eulérienne), soit en fonction des coordonnées occupées à un certain instant initial (description lagrangienne). Dans le premier cas le vecteur représente la vitesse à l'instant t et au point de coordonnées () (mais à différents instants il ne s'agira pas de la même portion de matière), dans le second cas représente la vitesse à l'instant t de la matière qui à l'instant initial occupait la position (et qui à l'instant t se trouve en un point différent ). On utilise le plus souvent la description eulérienne.

Équations de base

On peut obtenir ces équations par au moins deux voies :

Dans la première méthode apparaissent le tenseur des contraintes (ou tenseur de pression, incluant contraintes visqueuses et pression) et le flux de chaleur. Pour ces deux quantités on fait l'hypothèse qu'elles sont liées à un gradient :

Le mécanisme sous-jacent dans les deux cas n'est pas très apparent : on se doute que cette proportionnalité est liée à une linéarisation des équations qui décrivent le problème exact sous-jacent. C'est là un processus général en physique mathématique.

La méthode partant du microscopique permet d'éclairer cet aspect. Les équations de Navier-Stokes sont l'expression d'une petite perturbation de la fonction de distribution microscopique des vitesses et, éventuellement, des énergies internes (statistique de Maxwell-Boltzmann). A contrario les équations d'Euler décrivent le cas correspondant à l'équilibre thermodynamique.

Il faut alors donner les coefficients qui interviennent : pression, viscosité et conductivité. La pression est définie par l'équation d'état. Les propriétés de transport, viscosités, conductivité peut résulter dans le cas du gaz d'un calcul effectué à partir du niveau microscopique (du potentiel interatomique). Pour les liquides ces quantités relèvent de l'expérience.

Similitude

La similitude est la mise en évidence de nombres sans dimensions permettant de réduire le nombre de paramètres intervenant dans les équations afin de simplifier son analyse, éventuellement de définir des expériences à l'échelle du laboratoire. Elle est basée sur l'invariance d'échelle qui assure la covariance des équations : celles-ci sont valides dans tout référentiel galiléen.

On peut alors par un changement de variable faire apparaître des nombres adimensionnels et diminuer ainsi le nombre de variables d'un problème.

Types de fluides

Domaines de la mécanique des milieux continus
Mécanique des milieux continus Mécanique du solide
Matériau continu n'adoptant pas la forme de son contenant au repos
Élasticité
Matériau revenant à sa forme d'origine après disparition des forces appliquées
Plasticité
Matériau ne revenant pas à sa forme d'origine après disparition des forces appliquées
Rhéologie
Mécanique des milieux incluant solides et fluides
Mécanique des fluides
Matériau continu adoptant la forme de son contenant au repos
Fluides non-newtoniens
Matériau dont le taux de contrainte n'est pas proportionnel à la contrainte de cisaillement
Fluides newtoniens
Matériau dont le taux de contrainte est proportionnel à la contrainte de cisaillement

Les fluides non-newtoniens (comme le sang, les gels, boues, pâtes, suspensions, émulsions, etc.) peuvent avoir des comportements très variés. Ils sont généralement inclus dans la rhéologie avec les solides plastiques et des corps aux comportements plus complexes.

En général on parle donc de mécanique des fluides à propos des fluides newtoniens. Ils sont caractérisés par un coefficient de viscosité qui dépend de la température et de la pression. Cette mécanique des fluides réduite concerne essentiellement l’eau (hydraulique dans les conduites ou les canaux, hydrodynamique autour d’obstacles) et l’air (aéraulique dans les conduites, aérodynamique autour des obstacles).

Dans les cas particuliers de faibles pressions ou de dimensions microscopiques pour lesquelles les dimensions sont de l'ordre du libre parcours moyen des molécules, la viscosité n'a plus de sens du fait qu'elle repose sur les collisions des molécules de gaz entre elles dues à l'agitation thermique de celles-ci, rendant les équations classiques inutilisables, on a alors recours à la mécanique statistique.

Types d'écoulements

Des formes de couleur grise, orange et bleue indiquant les zones concernées par des régies d'écoulement différents.
Les différents régimes d'analyse des écoulements autour d’un profil d’aile avec volet partiellement décroché.
.

On peut observer différents types de régimes dans l'écoulement d'un fluide. Mathématiquement on distingue deux écoulements simples :

  • Régime permanent ou stationnaire : les grandeurs ne dépendent pas du temps[14]
    • Régime statique : les grandeurs ne dépendent pas du temps et la vitesse en tout point est nulle[14]
  • Régime dynamique : il existe un champ de vitesse non nulle constant dans le temps, au sein du fluide[14]
    • Régime uniforme : le champ des vitesses est de valeur unique en tout point
  • Régime transitoire : le champ des vitesses dépend du temps[14]

Physiquement on distingue :

  • Régime laminaire : les couches de fluide glissent les unes par rapport aux autres, les vitesses sont continues ;
  • Régime turbulent : les vitesses sont discontinues, les couches de fluide s'interpénètrent de façon aléatoire ;
  • Régime tourbillonnaire qui apparaît fréquemment dans la transition laminaire-turbulent.
  • Régimes visqueux, intermédiaire et moléculaire[15]

Si l'écoulement est uniforme, la viscosité n'a aucun effet puisque toutes les particules se déplacent à la même vitesse. Ce sont les parois, sur lesquelles la vitesse d'un fluide visqueux s'annule, qui créent une variation de vitesse entre 0 et la vitesse de l'écoulement non perturbé.

Lorsque la viscosité est très importante (nombre de Reynolds inférieur à 1), l'écoulement est laminaire, c'est l'écoulement de Stokes.

En toutes circonstances, il suffit de s'éloigner suffisamment des parois pour trouver des vitesses quasi constantes qui permettent de négliger la viscosité. Plus la valeur du nombre de Reynolds est élevée, plus cette zone, dans laquelle on peut considérer que l'on a affaire à un fluide parfait, est importante. Elle est alors soumise aux équations d'Euler, beaucoup plus simples que celles de Navier-Stokes. Les effets de la viscosité se concentrent alors dans la couche limite assez mince pour permettre de simplifier les équations visqueuses. Dans une première gamme de Reynolds, l'écoulement reste généralement irrotationnel, c'est-à-dire dépourvu de tourbillons. Pour de plus fortes valeurs, la couche limite engendre un sillage tourbillonnaire à l'aval de l'obstacle (image ci-contre).

Lorsque le nombre de Reynolds atteint des valeurs encore plus élevées, la couche limite, laminaire à l'amont, devient turbulente à l'aval, cette turbulence se transmettant au sillage, ce qui complique considérablement le problème.

Domaines

Sous-branches de la mécanique des fluides

Statique des fluides

Article détaillé : Hydrostatique.

L'hydrostatique, ou statique des fluides, est l'étude des fluides immobiles. Ce domaine a de nombreuses applications comme la mesure de pression et de masse volumique.

Stromfadentheorie

Théorie des écoulements à potentiel de vitesse

Dynamique des gaz

Dynamique des fluides

Article détaillé : Dynamique des fluides.

Stabilité linéaire et non-linéaire

Mesure de débit

Mécanique des fluides numérique

Article détaillé : Mécanique des fluides numérique.

La mécanique des fluides numérique consiste à étudier les mouvements d'un fluide, ou leurs effets, par la résolution numérique des équations régissant le fluide. En fonction des approximations choisies, qui sont en général le résultat d'un compromis en termes de besoins de représentation physique par rapport aux ressources de calcul ou de modélisation disponibles, les équations résolues peuvent être les équations d'Euler, les équations de Navier-Stokes, etc.

La mécanique des fluides numérique a grandi d'une curiosité mathématique pour devenir un outil essentiel dans pratiquement toutes les branches de la dynamique des fluides, de la propulsion aérospatiale aux prédictions météorologiques en passant par le dessin des coques de bateaux. Dans le domaine de la recherche, cette approche est l'objet d'un effort important, car elle permet l'accès à toutes les informations instantanées (vitesse, pression, concentration) pour chaque point du domaine de calcul, pour un coût global généralement modique par rapport aux expériences correspondantes.

Écoulements polyphasiques

Article détaillé : Écoulement polyphasique.

Ce domaine de la mécanique des fluides consiste à étudier ce qui se passe lorsque l’on a affaire à plusieurs fluides qui s’écoulent ensemble : il peut s'agir d'un même fluide présent sous plusieurs phases différentes (eau liquide et vapeur par exemple), de plusieurs liquides différents dans une même phase (eau et huile liquides par exemple : cela intéresse particulièrement l'industrie pétrolière) ou encore plusieurs fluides différents dans une phase différente (eau et air par exemple). Le comportement d'un écoulement en présence de plusieurs fluides différents se trouve fortement modifié par rapport au cas monophasique ; c'est pourquoi il est à l'heure actuelle l'un des sous-domaines les plus actifs (au niveau de la recherche et des publications) de la mécanique des fluides[réf. souhaitée].

Branches interdisciplinaires

Rhéologie

Article détaillé : rhéologie.

Machines à fluide

Microfluidique

Article détaillé : microfluidique.

Mécanique à flux biologique

Magnétohydrodynamique

Article détaillé : magnétohydrodynamique.

Domaines d’application

La mécanique des fluides au sens strict a de nombreuses applications dans divers domaines comme l'ingénierie navale, l'aéronautique, l'étude de l'écoulement du sang (hémodynamique), la météorologie, la climatologie ou encore l'océanographie.

Il existe également un grand nombre de domaines plus spécialisés qui peuvent s’écarter de la définition restrictive comme l’électro-fluidodynamique, la microfluidique ou l’étude des écoulements polyphasiques. Elle est actuellement étendue à des écoulements tels que ceux des glaciers ou du manteau terrestre.

Notes

  1. Le mouvement de traduction  amorcé dans les différentes Maisons de la Sagesse n'a pas pu inclure tous les ouvrages scientifiques et littéraires ; les découvertes d'Héron d'Alexandrie ont été perdues à cette époque.
  2. Pendant longtemps une approche intermédiaire a consisté à déduire le potentiel (par exemple de type Lennard-Jones) de la mesure de viscosité et de calculer les autres coefficients.

Références

  1. Mécanique des fluides appliquée p.1-4 sur Google Livres
  2. a, b et c Mécanique des fluides appliquée p.8-9 sur Google Livres
  3. a, b et c Mécanique des fluides appliquée p.5-7 sur Google Livres
  4. a, b et c Isabelle Gallagher, « Autour des équations de Navier-Stokes », Images des mathématiques, sur CNRS,
  5. Frères Banou Moussa, The book of ingenious devices (Kitāb al-ḥiyal), Springer, (ISBN 90-277-0833-9)
  6. Mécanique des fluides appliquée p.9-12 sur Google Livres
  7. « Colloque : Un siècle de Mécanique des Fluides, 1870 - 1970 », sur Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse
  8. (en) B. Launder et al., A Voyage Through Turbulence, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-19868-4)
  9. G. Bouligand, « L'œuvre d'Euler et la mécanique des fluides au XVIIIe siècle », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, vol. 13, no 2,‎ , p. 105-113 (lire en ligne)
  10. (en) L. Prandtl et O. G. Tietjens, Fundamentals of Hydro- and Aerodynamics, McGraw Hill Book Company
  11. (en) O. Darrigol, Worlds of Flow. A history of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl., Oxford University Press, (ISBN 978-0-19-856843-8)
  12. Cazalbou, Mécanique des fluides PC-PSI, Editions Bréal (ISBN 9782749520490, lire en ligne)
  13. (en) Yeram Sarkis Touloukian, S.C. Saxena et P. Hestermans, Viscosity, New York, IFI/Plenum, coll. « Thermophysical properties of matter » (no 11), , 643 p. (ISBN 978-0-306-67031-2 et 978-0-306-67020-6, OCLC 2296975, lire en ligne)
  14. a, b, c et d Mécanique des fluides et des solides appliquée à la chimie, p. 57 sur Google Livres
  15. Mécanique des fluides et des solides appliquée à la chimie, p. 152-154 sur Google Livres

Voir aussi

Bibliographie

  • P. H. Communay, La mécanique des fluides. Dynamique de vie, Groupe de Recherche et d'Édition, Toulouse, 2000, 16x24 cm (ISBN 2-84139-033-0).
  • É. Guyon, J.-P. Hulin et L. Petit, Ce que disent les fluides, Belin, 2005 (ISBN 978-2-7011-3557-1).
  • E. Saatdjian, Les bases de la mécanique des fluides et des transferts de chaleur et de masse pour l'ingénieur, Sapientia Éditions, 2009 (ISBN 978-2-911761-85-0).

Articles connexes

Centres d'études en mécanique des fluides

Liens externes