Loi de Hooke

En physique, la loi de Hooke modélise le comportement des solides élastiques soumis à des contraintes. Elle stipule que la déformation élastique est une fonction linéaire des contraintes. Sous sa forme la plus simple, elle relie l'allongement (d'un ressort, par exemple) à la force appliquée.

La loi de Hooke n'est une approximation au premier ordre d'une série de Taylor. Dans le cas de trop grosses déformations, cette approximation peut devenir inexacte. Il existe de plus des grandeurs minimales et maximales que peuvent avoir des objets avant de subir des déformations permanentes, dans lesquels cas la loi de Hooke ne peut pas non plus s'appliquer. Par contre, dans le cas ou les forces et les déformations sont assez petites, la loi de Hooke peut être considérée à toutes fins pratiques comme exacte. Pour cette raison, la loi de Hooke est utilisée dans de très nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie, tels que la séismologie, la mécanique moléculaire et l'acoustique.

Cette loi de comportement a été énoncée par le physicien anglais Robert Hooke en 1676.

Loi de Hooke pour les ressorts

Cylindre soumis à de la traction/compression

Le mode de déformation le plus simple est la traction (étirement) ou la compression selon un axe. Pour de petites déformations, la variation de longueur est proportionnelle à la force de traction/compression  :

que l'on écrit plus volontiers :

est la raideur de la pièce, aussi appelée constante de rappel. C'est en fait la loi des ressorts. Ici, le signe négatif signifie que la force s'oppose donc à toute déformation, et est donc de sens opposé à la déformation du ressort.

Équation du mouvement d'une particule soumise à la force de Hooke en une dimension

L'équation différentielle qui traduit l'action de la force de Hooke sur la particule peut s'écrire :

est la masse de la particule, est la position de la particule par rapport à son point d'équilibre (i.e. le point où il n'y a pas de force qui s'exerce sur la particule) et est l'accélération de la particule. Une solution de cette équation peut s'écrire :

et sont des paramètres déterminés par les conditions initiales du système et représentent l'amplitude du mouvement et une phase sur l'oscillation, respectivement. Ici, est la fréquence angulaire et vaut et n'est donc dictée que par les caractéristiques du système.

On reconnaît l'équation caractéristique de l'Oscillateur harmonique. C'est en effet la loi de Hooke qui est à la base de ces oscillateurs.

Contrainte et module de Young

Afin de s'abstraire de la forme de la pièce, et notamment de ses dimensions, on divise la force par l'aire de la section droite de la pièce, on appelle ce ratio contrainte . La contrainte est une grandeur homogène à une pression et s'exprime en Pa.

et on divise l'allongement par la longueur initiale , grandeur que l'on appelle déformation ou allongement relatif (sans dimension)

La loi de Hooke s'exprime alors sous la forme :

est le module de Young ou module d'élasticité, une caractéristique du matériau ; c'est l'équivalent en mécanique des milieux continus de la raideur d'un ressort.

Cette loi est valable pour l'étirement ou la compression d'une pièce, les autres dimensions étant libres de s'étendre.

Unités utilisées
Grandeur uSI Unités
conventionnelles
Pa kPa, MPa, GPa
Pa MPa, GPa
1 %, ‰

Loi de Hooke généralisée

Si l'on s'intéresse à un petit élément de matière subissant de petites déformations, alors sa loi de déformation est linéaire et réversible quelle que soit la sollicitation. On peut donc généraliser la loi de Hooke, en l'exprimant sous forme tensorielle ou matricielle. Les contraintes et les déformations sont définies localement par deux tenseurs d'ordre 2 et de dimension 3, le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations (de composantes et respectivement, avec et = 1, 2 ou 3), symétriques tous les deux ( et ).

Cas général

Le comportement élastique du matériau est modélisé par un tenseur d'ordre 4 et de dimension 3 (de coefficients ), de telle sorte que la relation entre contraintes et déformations s'écrit :

ou, en appliquant la convention de sommation d'Einstein (sommation implicite sur les indices répétés) :

Le tenseur comporte 34 = 81 coefficients, mais :

  • les tenseurs et étant symétriques, le tenseur vérifie les relations  ;
  • de plus, en supposant que le tenseur des contraintes peut être dérivé d'une énergie potentielle, on peut montrer que le tenseur des constantes élastiques est invariant par permutation des paires d'indices : .

L'existence de ces relations réduit le nombre de coefficients indépendants à 21. Il s'agit d'un nombre maximum, valable pour les réseaux cristallins sans symétrie autre que celle de translation (système réticulaire triclinique).

En ne considérant que les éléments indépendants de et , la relation peut s'écrire :

où la matrice 6×6 est symétrique : la matrice triangulaire supérieure comprend les 21 coefficients indépendants, les 15 termes restants étant symétriques par rapport à la diagonale.

Pour simplifier l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, appelée notation de Voigt, où les axes de compression/traction (indices 11, 22 et 33) sont renumérotés de 1 à 3, et les axes de cisaillement (23, 13 et 12) de 4 à 6 :

où les 21 coefficients indépendants (matrice triangulaire supérieure) sont les éléments pour lesquels .

Matériau isotrope

Dans le cas d'un matériau isotrope, si l'on reprend en compte le coefficient de Poisson ν, la loi de Hooke devient :

avec

  • δij le symbole de Kronecker et
  • εkk la notation abrégée de la trace du tenseur des déformations (somme des termes diagonaux du tenseur).

On peut aussi l'écrire sous forme matricielle :

Les relations ci-dessus peuvent être inversées pour donner :

ou, sous forme matricielle (en appliquant la trace à la relation plus haut) :

La forme explicite très simple de ces relations (donnant les déformations en fonction des contraintes)

montre bien la signification physique du module d'Young E et du coefficient de Poisson ν.

Propriétés et justification

De sa loi deux aspects sont importants :

  1. La linéarité,
  2. L'élasticité.

Ces deux aspects ne sont pas identiques, la linéarité exprime que l'allongement est proportionnel à la force, l'élasticité exprime que cet effet est réversible et permet de revenir à l'état initial tel un ressort soumis à de faible forces. L'élasticité a une limite, qui est indépendante de la notion de linéarité, Hooke n'a considéré que la phase élastique et linéaire, donc proportionnelle et réversible.

La linéarité provient du fait que l'on est en faible déformation, on peut donc faire une approximation linéaire de la loi réelle (développement limité au premier ordre). Il s'agit en fait d'approcher le potentiel interatomique par une parabole, voir l'article Déformation élastique > Pourquoi les lois sont-elles linéaires ?.

Dans le cas d'une pièce de forme complexe, la loi de déformation globale n'a aucune raison d'être linéaire, mais par contre, chaque élément infinitésimal de matière se déforme lui de manière linéaire

Loi similaire pour le cisaillement

Cisaillement

La loi de Hooke est une loi de déformation en traction/compression ; cependant, en cisaillement, on a une loi similaire :

Unités utilisées
Grandeur uSI Unités
conventionnelles
Pa MPa
Pa MPa, GPa
rad °


Histoire

Cette loi de comportement a été énoncée par Robert Hooke, par la phrase en latin :

ut tensio sic vis (en 1678[1],[2] ; expériences datant de 1675)

ce qui signifie « telle extension, telle force », ou bien en termes modernes « l'allongement est proportionnel à la force ». Hooke désirait obtenir une théorie des ressorts, en soumettant ces derniers à des forces croissantes successives.

Ut tensio sic vis est la devise de l'École polytechnique de Montréal.

Notes et références

  1. Référence original : Lectures De Potentia Restitutiva of springs, explaining the power of springing bodies, Londres,
  2. L. Solomon, Élasticité linéaire, (lire en ligne)

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes