Approximation de Boussinesq

L'approximation de Boussinesq en mécanique des fluides désigne une approximation des équations de Navier-Stokes pour des écoulements incompressibles à surface libre, dans lesquels existe un gradient de masse volumique vertical entraînant l'absence d'équilibre hydrostatique. Ce type de méthode a été introduite en 1877 par Joseph Boussinesq, professeur de mécanique à l'Université de Lille et à l'Institut industriel du Nord (École centrale de Lille)[1].

Cette approximation est à la base de nombreux développements, par exemple les écoulements rapidement variés[2] (par exemple un déversoir de canal), la circulation océanique et les problèmes d'ondes à la surface des océans lorsque celui-ci est stratifié[3], certains mouvements dans l'atmosphère associés à une variation de température comme les vents catabatiques et les problèmes de convection libre[4].

Les problèmes où l'équilibre hydrostatique est conservé (écoulements en eau peu profonde) relèvent des équations de Barré de Saint-Venant.

Équations de Navier-Stokes pour une masse volumique variable

On suppose que le milieu présente de faibles variations de température T. Par suite les variations de masse volumique ρ autour de la valeur nominale ρ0 sont également faibles. De plus on peut confondre les capacités thermiques massiques à volume constant CV et à pression constante Cp et supposer ces valeurs indépendantes de la température, de même que la conductivité thermique.

Avec ces hypothèses les équations de Navier-Stokes s'écrivent

  • continuité
  • conservation de la quantité de mouvement
  • la dépendance en température fait que les équations ci-dessus sont à présent couplées à l'équation de conservation de l'énergie interne massique e

où p est la pression, μ la viscosité dynamique du fluide, V la vitesse, g la gravité, λ la conductivité thermique et β la diffusivité thermique.

Approximation de Boussinesq

Équation de continuité

Supposons une variation de masse volumique δρ crée par un phénomène quelconque

L'équation de continuité devient

soit, comme pour un milieu à masse volumique constante

Équation de quantité de mouvement

Pour l'équation de quantité de mouvement on suppose une faible variation de masse volumique

alors

Par ailleurs g dérive d'un potentiel (par exemple Φ = g z à l'échelle du laboratoire)

donc

La variation de masse volumique est elle-même reliée à la variation de température par

où α est le coefficient de dilatation thermique. Soit au final

où on a introduit la flottabilité

Équation de l'énergie

On écrit

Cette expression est portée dans l'équation de l'énergie

Donc une équation sur la variation de température identique à celle sur la température elle-même.

Références

  1. J. Boussinesq, « Essai sur la théorie des eaux courantes », Comptes rendus de l'Académie des Sciences, vol. 23,‎ , p. 1-680 (lire en ligne)
  2. (en) Oscar Castro-Orgaz et Willi H. Hager, Non-Hydrostatic Free Surface Flows, Springer, (ISBN 978-3-319-47969-9, lire en ligne)
  3. (en) Geoffrey K. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics, Cambridge University Press, (ISBN 978-1-1075-8841-7)
  4. (en) D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Clarendon Press, (ISBN 978-0-19-854493-7)

Voir aussi